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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra 1

Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/12 18:37
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
3 1. {{formula}}\overrightarrow{AM}= \left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ -4 \end{array}\right) = \overrightarrow{MB}{{/formula}}; damit ist {{formula}}M{{/formula}} Mittelpunkt von {{formula}}AB{{/formula}}.
4 <br>
5 1. {{formula}}\overrightarrow{MC}= \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right); \ \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{MC}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ -4 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right)=0{{/formula}}
6 {{/detail}}
7
8
9 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10 <p>
11 //Aufgabenstellung//
12 <br>
13 Weise folgende Sachverhalte nach:
14 1. Der Punkt {{formula}}M{{/formula}} ist der Mittelpunkt der Strecke {{formula}}AB{{/formula}}.
15 1. Die Vektoren {{formula}}\overrightarrow{AM}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{MC}{{/formula}} schließen einen rechten Winkel ein.
16 </p>
17
18 //Lösung//
19 <br>
20 1. Wenn {{formula}}M{{/formula}} der Mittelpunkt der Strecke {{formula}}AB{{/formula}} ist, muss der Verbindungsvektor von {{formula}}A{{/formula}} nach {{formula}}M{{/formula}} derselbe sein wie der Verbindungsvektor von {{formula}}M{{/formula}} nach {{formula}}B{{/formula}}.
21 {{formula}}\overrightarrow{AM}= \left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ -4 \end{array}\right) = \overrightarrow{MB}{{/formula}}; damit ist {{formula}}M{{/formula}} Mittelpunkt von {{formula}}AB{{/formula}}.
22 1. Wenn zwei Vektoren orthogonal sind, ist ihr Skalarprodukt Null.
23 <br>
24 {{formula}}\overrightarrow{MC}= \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right); \overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{MC}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ -4 \end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right)=0{{/formula}}
25 {{/detail}}
26
27
28
29 === Teilaufgabe b) ===
30 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
31 <p>
32 Skizze: [[image:StreckeMCSkizze.PNG||width="120"]]
33 </p><p>
34 {{formula}}\overrightarrow{OP_1}=\overrightarrow{OM}+\frac{2}{3}\cdot \overrightarrow{MC}= \left(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) + \frac{2}{3}\cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right)= \frac{1}{3}\cdot \left(\begin{array}{c} 11 \\ 11 \\ -11 \end{array}\right){{/formula}}
35 </p><p>
36 Damit ist {{formula}}P_1 \left(\frac{11}{3}\big\vert\frac{11}{3}\big\vert-\frac{11}{3} \right){{/formula}}.
37 </p>
38 Hinweis: Alternativlösung {{formula}}P_2(1|9|-9){{/formula}}.
39 {{/detail}}
40
41
42 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
43 <p>
44 //Aufgabenstellung//
45 <br>
46 Bestimme die Koordinaten eines Punktes, der doppelt so weit vom Punkt {{formula}}M{{/formula}} entfernt ist wie vom Punkt {{formula}}C{{/formula}}
47 </p>
48 //Lösung//
49 <br>
50 <p>
51 Skizze: [[image:StreckeMCSkizze.PNG||width="120"]]
52 </p>
53 Für die Verbindungsvektoren muss gelten:
54 <br><p>
55 {{formula}}\overrightarrow{MP_1}=\frac{2}{3}\cdot \overrightarrow{MC}{{/formula}}
56 </p>
57 Und damit vom Ursprung aus:
58 <br><p>
59 {{formula}}\overrightarrow{OP_1}=\overrightarrow{OM}+\frac{2}{3}\cdot \overrightarrow{MC}= \left(\begin{array}{c} 5 \\ 1 \\ -1 \end{array}\right) + \frac{2}{3}\cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ -4 \end{array}\right)= \frac{1}{3}\cdot \left(\begin{array}{c} 11 \\ 11 \\ -11 \end{array}\right){{/formula}}
60 </p><p>
61 Damit ist {{formula}}P_1 \left(\frac{11}{3}\big\vert\frac{11}{3}\big\vert-\frac{11}{3} \right){{/formula}}.
62 </p>
63 Hinweis: Alternativlösung {{formula}}P_2(1|9|-9){{/formula}}. Dieser Punkt wäre in der obigen Skizze rechts von {{formula}}C{{/formula}}.
64 {{/detail}}