Lösung Aufgabe 1

Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/28 18:35

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont (offiziell)

K_1 verläuft vom 3. in den 4. Quadranten. Da der Koeffizient der höchsten Potenz von im Funktionsterm von positiv ist, stimmt das globale Verhalten von K_1 nicht mit dem von überein.

K_3 ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Da der Funktionsterm von sowohl gerade als auch ungerade Potenzen von aufweist, stimmt das Symmetrieverhalten von K_3 nicht mit dem von überein.

verläuft vom 2. in den 1. Quadranten. K_2

ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Somit stimmen sowohl das globale Verhalten als auch das Symmetrieverhalten von K_2

mit dem von

überein.

Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung

Einer der drei Graphen entspricht . Beurteile für jeden Graph, ob es sich um handeln kann.

Lösung

K_1 verläuft vom 3. in den 4. Quadranten. Da der Koeffizient der höchsten Potenz von im Funktionsterm von positiv ist, stimmt das globale Verhalten von K_1 nicht mit dem von überein.

K_3 ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Da der Funktionsterm von sowohl gerade als auch ungerade Potenzen von aufweist, stimmt das Symmetrieverhalten von K_3 nicht mit dem von überein.

verläuft vom 2. in den 1. Quadranten. K_2

ist weder achsensymmetrisch zur y-Achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. Somit stimmen sowohl das globale Verhalten als auch das Symmetrieverhalten von K_2

mit dem von

überein.

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont (offiziell)

$f(x)=\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3};\ \ f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-x^2;\ \ f^{\prime\prime}(x)=x^2-2x;\ \ f^{\prime\prime\prime}(x)=2x-2$

$f^\prime(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}x^3-x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2\left(\frac{1}{3}x-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ \ \vee\ \ x=3$

$f^\prime(0)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(0\right)=0 \ \land \ f^{\prime\prime\prime}(0)\neq0 \ \land \ f(0)=\frac{4}{3}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Sattelpunkt} \ S\left(0\middle|\frac{4}{3}\right)$

$f^\prime(3)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(3\right)=3 > 0 \ \ \land \ f(3)=-\frac{11}{12}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(3\middle|-\frac{11}{12}\right)$

Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung

Berechne die Koordinaten aller Punkte, an denen eine waagrechte Tangente hat. Gib für jeden dieser Punkte an, ob es sich um einen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkt handelt.

Lösung
Neben der Funktionsgleichung von

werden für diese Teilaufgabe auch die Gleichungen der ersten, zweiten und dritten Ableitungsfunktion benötigt:

$f(x)=\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3};\ \ f^\prime\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-x^2;\ \ f^{\prime\prime}(x)=x^2-2x;\ \ f^{\prime\prime\prime}(x)=2x-2$

An Extremstellen ist die erste Ableitung Null, da dort eine waagrechte Tangente angelegt werden kann:

$f^\prime(x)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ \frac{1}{3}x^3-x^2=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x^2\left(\frac{1}{3}x-1\right)=0\ \ \Leftrightarrow\ \ x=0\ \ \vee\ \ x=3$

Mit Hilfe der zweiten und gegebenenfalls dritten Ableitung lässt sich überprüfen, ob diese Stellen Hochstellen, Tiefstellen oder Sattelstellen sind. Die y-Koordinate erhält man, wenn man den x-Wert in den Funktionsterm einsetzt.
$f^\prime(0)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(0\right)=0 \ \land \ f^{\prime\prime\prime}(0)\neq0 \ \land \ f(0)=\frac{4}{3}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Sattelpunkt} \ S\left(0\middle|\frac{4}{3}\right)$
(Ist an einer Stelle die erste und zweite Ableitung Null, die dritte aber nicht Null, so handelt es sich um eine Terrassenstelle/Sattelstelle.)
$f^\prime(3)=0\ \land \ f^{\prime\prime}\left(3\right)=3 > 0 \ \ \land \ f(3)=-\frac{11}{12}\ \ \Rightarrow\ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(3\middle|-\frac{11}{12}\right)$
(Ist an einer Stelle die erste Ableitung Null und die zweite Ableitung positiv, d. h. der Graph dort linksgekrümmt, so handelt es sich um eine Tiefstelle.)

Teilaufgabe c)

Erwartungshorizont (offiziell)

$f(2)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0$

Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung

Weise nach, dass bei x=2 eine Nullstelle hat.

Lösung
Dass x=2

eine Nullstelle ist, lässt sich am einfachsten überprüfen, wenn man x=2

in den Funktionsterm einsetzt:
$f(2)=\frac{4}{3}-\frac{8}{3}+\frac{4}{3}=0$

Teilaufgabe d)

Erwartungshorizont (offiziell)

Wendetangente in x=0 : $t_0(x)=\frac{4}{3}$

Wendetangente in x=2 : $t_2(x)=f^\prime(2)\cdot(x-2)+f(2);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$

$t_0(1)=t_2(1)=\frac{4}{3}$ .
Also ist

Schnittpunkt der beiden Wendetangenten.

Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung

Neben dem Wendepunkt $W\left(2\middle|0\right)$ besitzt einen weiteren Wendepunkt $S\left(0\middle| f(0)\right)$ . Der Punkt $P\left(1|\frac{4}{3}\right)$ liegt oberhalb des Graphen von .
Weise nach, dass sich die beiden Wendetangenten im Punkt schneiden.

Lösung
Hier empfiehlt es sich, eine Skizze anzufertigen:
1d)Hinweis2.png

Die Wendetangente in x=0 ist eine waagrechte Gerade, da ein Sattelpunkt ist: $t_0(x)=\frac{4}{3}$

Die Wendetangente in x=2

kann mit Hilfe der allgemeinen Tangentengleichung beschrieben werden (siehe Merkhilfe):

$t_2(x)=f^\prime\left(2\right)\cdot\left(x-2\right)+f\left(2\right);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}$

Wenn sich beide Tangenten in schneiden, muss die x-Koordinaten von eingesetzt in die Tangentengleichungen beide Male die y-Koordinate von ergeben:
$t_0(1)=t_2(1)=\frac{4}{3}$ .
Also ist Schnittpunkt der beiden Wendetangenten.

Teilaufgabe e)

Erwartungshorizont (offiziell)

Flächeninhalt des gesamten Dreiecks PSW : $A_g=\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{SP}\right|\cdot\left|\overrightarrow{SO}\right|=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{4}{3}=\frac{2}{3}$

Flächeninhalt des Teils des Dreiecks PSW , der unterhalb von liegt:

$\begin{align*} A_u &=\int_{0}^{2}{f(x)\mathrm{d} x}-A_{\mathrm{\Delta}_{OWS} } \\ &=\int_{0}^{2}{\left(\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3}\right)\mathrm{d} x}-\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{4}{3}=\left[\frac{1}{60}x^5-\frac{1}{12}x^4+\frac{4}{3}x\right]_0^2-\frac{4}{3}=\frac{28}{15}-\frac{4}{3}=\frac{8}{15} \end{align*}$