Änderungen von Dokument Lösung Aufgabe 1

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -105,19 +105,20 @@
105	105	<br>
106	106	Hier empfiehlt es sich, eine Skizze anzufertigen:
107	107	<br>
108		-[[image:1d)Hinweis2.png||width="400" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
	108	+[[image:1d)Hinweis2.png||width="350" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
109	109	<br><p>
110	110	Die Wendetangente in {{formula}}x=0{{/formula}} ist eine waagrechte Gerade, da {{formula}}S{{/formula}} ein Sattelpunkt ist: {{formula}}t_0(x)=\frac{4}{3}{{/formula}}
111	111	</p>
112	112	Die Wendetangente in {{formula}}x=2{{/formula}} kann mit Hilfe der allgemeinen Tangentengleichung beschrieben werden (siehe Merkhilfe):
113		-<br><p>
	113	+<br></p>
114	114	{{formula}}t_2(x)=f^\prime\left(2\right)\cdot\left(x-2\right)+f\left(2\right);\ \ t_2(x)=-\frac{4}{3}x+\frac{8}{3}{{/formula}}
115	115	</p><p>
116	116	Wenn sich beide Tangenten in {{formula}}P{{/formula}} schneiden, muss die x-Koordinaten von {{formula}}P{{/formula}} eingesetzt in die Tangentengleichungen beide Male die y-Koordinate von {{formula}}P{{/formula}} ergeben:
117		-<br>
	117	+</p>
118	118	{{formula}}t_0(1)=t_2(1)=\frac{4}{3}{{/formula}}.
119	119	<br>
120	120	Also ist {{formula}}P{{/formula}} Schnittpunkt der beiden Wendetangenten.
	121	+
121	121	{{/detail}}
122	122
123	123	=== Teilaufgabe e) ===
...	...	@@ -138,34 +138,3 @@
138	138	Flächeninhalt des oberen Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}}: {{formula}}A_o=A_g-A_u=\frac{2}{15}{{/formula}}
139	139	{{/detail}}
140	140
141		-
142		-{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
143		-//Aufgabenstellung//
144		-<br><p>
145		-Das Dreieck {{formula}}PSW{{/formula}} wird von {{formula}}K{{/formula}} in zwei Teile geteilt. Berechne den Flächeninhalt der Teilfläche oberhalb von {{formula}}K{{/formula}}.
146		-</p>
147		-//Lösung//
148		-<br>
149		-Auch hier kann eine Skizze sinnvoll sein. Gesucht ist der Inhalt der roten Teilfläche:
150		-<br>
151		-[[image:1e)Hinweis1.png||width="400" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
152		-<br>
153		-Das blaue Dreieck {{formula}}PSW{{/formula}} hat die Grundlinie {{formula}}SP{{/formula}} und die Höhe {{formula}}SO{{/formula}} ({{formula}}O{{/formula}} ist der Ursprung des Koordinatensystems). Flächeninhalt des gesamten blauen Dreiecks PSW ist also:
154		-<br><p>
155		-{{formula}}A_g=\frac{1}{2}\cdot\left|\overrightarrow{SP}\right|\cdot\left|\overrightarrow{SO}\right|=\frac{1}{2}\cdot1\cdot\frac{4}{3}=\frac{2}{3}{{/formula}}
156		-</p>
157		-Der Flächeninhalt des Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}}, der unterhalb des Graphen von {{formula}}f{{/formula}} liegt, ist das Integral von 0 bis 2, aber ohne den Flächeninhalt des grauen Dreiecks {{formula}}OWS{{/formula}}:
158		-<br>
159		-
160		-{{formula}}
161		-\begin{align*}
162		-A_u &=\int_{0}^{2}{f(x)\mathrm{d} x}-A_{\mathrm{\Delta}_{OWS} } \\
163		-&=\int_{0}^{2}{\left(\frac{1}{12}x^4-\frac{1}{3}x^3+\frac{4}{3}\right)\mathrm{d} x}-\frac{1}{2}\cdot2\cdot\frac{4}{3}=\left[\frac{1}{60}x^5-\frac{1}{12}x^4+\frac{4}{3}x\right]_0^2-\frac{4}{3}=\frac{28}{15}-\frac{4}{3}=\frac{8}{15}
164		-\end{align*}
165		-{{/formula}}
166		-
167		-<br>
168		-Der Flächeninhalt des roten, oberen Teils des Dreiecks {{formula}}PSW{{/formula}} ist also:
169		-<br>
170		-{{formula}}A_o=A_g-A_u=\frac{2}{15}{{/formula}}
171		-{{/detail}}