Tipp Stochastik

Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/23 22:24

Teilaufgabe a)

Hinweis 1 E_1: Die erste Person verträgt das Produkt, die zweite auch, die dritte nicht, aber alle nachfolgenden schon.
Hinweis 2 E_2: Die Zufallsgröße X: „Anzahl der Testpersonen, die das Produkt vertragen“ ist binomialverteilt mit n=20 und p=0,91.
Hinweis 3 E_3: Zuerst muss berechnet werden, wie viel 70% von 20 Personen ist.
Hinweis 4

Da der Taschenrechner nur P(X\leq m) berechnen kann, also über alle P(X=k) von k=0 bis k=m aufsummiert, muss P(X\geq 14) noch umformuliert werden.

(Taschenrechner: binomialcdf)
Hinweis 5 P(E_3)=P(X\geq 14)=1-P(X\leq 13)\approx 1- ? \approx ? (Taschenrechner: binomialcdf)

Teilaufgabe b)

Hinweis 1 Y: Anzahl der Personen, die das Produkt nicht vertragen. (Binomialverteilt mit n=200, \ p=0,09)
Gesucht ist P(14\leq Y\leq 22).
Hinweis 2 Da der Taschenrechner nur P(X\leq m) berechnen kann, also über alle P(X=k) von k=0 bis k=m aufsummiert, muss P(14\leq Y\leq 22) noch umformuliert werden.
Hinweis 3 P(14\leq Y\leq 22)=P(Y \leq 22)-P(Y\leq 13)\approx ? (Taschenrechner: binomialcdf zweimal)

Teilaufgabe c)

Hinweis 1 „Bei 5,5% aller Testpersonen tritt eine Allergie auf.“
A\overline{A}\sum
I
\overline{I}0,91
\sum ?1
Hinweis 2 „Von diesen haben 90% keine Irritation“: P_? (?)=0,9
A\overline{A}\sum
I
\overline{I} ? 0,91
\sum 0,0551
Hinweis 3 „Von diesen haben 90% keine Irritation“: P_A (\overline{I})=0,9
Pfadregel: \textcolor{red}{P(A\cap \overline{I})= ?}
A\overline{A}\sum
I
\overline{I} ? 0,91
\sum 0,0551
Hinweis 4 „Von diesen haben 90% keine Irritation“: P_A (\overline{I})=0,9
Pfadregel: \textcolor{red}{P(A\cap \overline{I})=P(A)\cdot P_A (\overline{I})=0,055\cdot 0,9= ?}
A\overline{A}\sum
I
\overline{I} ? 0,91
\sum 0,0551
Hinweis 5 Die restlichen Felder können mittels Summenregel berechnet werden.
(„Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“)
A\overline{A}\sum
I0,0055? ?
\overline{I} 0,0495 0,91 ?
\sum 0,055?1

Teilaufgabe d)

Hinweis

Die stochastische (Un)abhängigkeit lässt sich auf zwei Arten überprüfen.

Option 1: Vergleich der bedingten und unbedingten Wahrscheinlichkeiten
Wenn P_I (A)=P(A), dann spielt die Bedingung I anscheinend keine Rolle; folglich sind beide Merkmale unabhängig voneinander.

Option 2: Vergleich der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge mit dem Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten
Wenn P(A\cap I)=P(A)\cdot P(I), dann sind beide Merkmale unabhängig voneinander (siehe Merkhilfe).

Teilaufgabe e)

Hinweis 1 Die Formulierung „entweder … oder …“ ist nicht zu verwechseln mit dem einfachen „oder“, bei dem der Additionssatz angewendet werden kann.
Hinweis 2 Während beim Additionssatz die Schnittmenge A\cap I einmal mitgezählt wird (und ihre Wahrscheinlichkeit einmal abgezogen wird, damit sie nicht fälschlicherweise doppelt gezählt wird), kommt die Schnittmenge A\cap I bei „entweder … oder …“ überhaupt nicht vor. Venndiagramm_e).png
Hinweis 3 Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Allergie, aber keine Irritation auftritt, addiert zur Wahrscheinlichkeit, dass eine Irritation, aber keine Allergie auftritt.
Hinweis 4 P((A\cap \overline{I})\cup(\overline{A} \cap I))=P(A\cap \overline{I})+P(\overline{A} \cap I)= ?

Teilaufgabe f)

Hinweis 1 Die Irritation ist schon aufgetreten; sie ist also die Bedingung.
Hinweis 2 A: Allergie; I: Irritation
Die Irritation ist schon aufgetreten; sie ist also die Bedingung.
P_I (A)=\frac{P(A\cap I)}{P(I)}= ?

Teilaufgabe g)

Hinweis 1 Eine Tabelle zur Wahrscheinlichkeitsverteilung kann hier behilflich sein.
Hinweis 2 In einer Tabelle zur Wahrscheinlichkeitsverteilung werden die Werte der Zufallsgröße (hier z. B. der Gewinn) und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten für alle Ereignisse notiert.
Hinweis 3 In der Tabelle kann unterschieden werden zwischen „keine Rückgabe“, „Rückgabe aufgrund von Unverträglichkeit“ und „Rückgabe aus sonstigen Gründen“
Zufallsvariable G: Gewinn bzw. Verlust für das Unternehmen
a: Anteil aller Kunden, die eine Rückerstattung aus sonstigen Gründen beantragen
keine RückgabeRückgabe aufgrund von UnverträglichkeitRückgabe aus sonstigen Gründen
G_i
P(G=G_i) a
Hinweis 4
keine RückgabeRückgabe aufgrund von UnverträglichkeitRückgabe aus sonstigen Gründen
G_i 9-0,5 ?
P(G=G_i)? 0,09a
Hinweis 5 Der erwartete Gewinn soll 6,50 € sein. Aus der Formel für den Erwartungswert (siehe Merkhilfe) ergibt sich eine Gleichung für a.
Hinweis 6 \mu =\sum\limits_{i=1}^n P(X=x_i)\cdot x_i =P(X=x_1 )\cdot x_1+P(X=x_2 )\cdot x_2+\dots+P(X=x_n )\cdot x_n
Hinweis 7
keine RückgabeRückgabe aufgrund von UnverträglichkeitRückgabe aus sonstigen Gründen
G_i 9-0,5 -0,5
P(G=G_i)0,91 -a 0,09a
\mu=(0,91-a)\cdot 9+0,09\cdot (-0,5)+a\cdot(-0,5)
\mu=6,50
Hinweis 8 (0,91-a)\cdot9-0,09\cdot 0,5-0,5a=6,5 Diese Gleichung kann nach dem gesuchten Wert für a aufgelöst werden.