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Wiki-Quellcode von Lösung Aufgabe 2

Zuletzt geändert von akukin am 2024/12/28 19:39
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
3 {{formula}}\frac{418,53 - 394,06}{2022 - 2012} = 2,45 \ \left(\mathrm{ppm/Jahr}\right){{/formula}}
4 <br>
5 //Hinweis: Eine Mittelwertbildung der jährlichen Änderungsraten ist ebenso möglich.//
6 {{/detail}}
7
8
9 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10 //Aufgabenstellung//
11 <br><p>
12 Bestimme die durchschnittliche Änderungsrate der CO,,2,,-Konzentration im Zeitraum 2012 bis 2022.
13 </p>
14 //Lösung//
15 <br>
16 Die durchschnittliche Änderungsrate ist der gesamte Anstieg der CO,,2,,-Konzentration geteilt durch die Dauer des betrachteten Zeitintervalls:
17 <br>
18 {{formula}}\frac{418,53 - 394,06}{2022 - 2012} = 2,45\ \left(\mathrm{ppm/Jahr}\right){{/formula}}
19 <br>
20 //Hinweis: Eine Mittelwertbildung der jährlichen Änderungsraten ist ebenso möglich.//
21 {{/detail}}
22
23 === Teilaufgabe b) ===
24 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
25 Lineare Regression, da z. B. nach dem Einzeichnen der Wertepaare als Punkte in ein Diagramm annähernd eine Gerade zu erkennen ist.
26 <br>
27 {{formula}}k(x)=2,48x-4596{{/formula}}
28 <br>
29 mit Jahreszahl {{formula}}x{{/formula}} und CO,,2,,-Konzentration {{formula}}k{{/formula}} in ppm
30 {{/detail}}
31
32
33 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
34 //Aufgabenstellung//
35 <br><p>
36 Ermittle ein mathematisches Modell für den gegebenen Verlauf der CO,,2,,-Konzentration. Gib dazu eine geeignete Funktionsgleichung an. Begründe deine Auswahl.
37 </p>
38 //Lösung//
39 <br>
40 Lineare Regression, da z. B. nach dem Einzeichnen der Wertepaare als Punkte in ein Diagramm annähernd eine Gerade zu erkennen ist:
41 <br>
42 [[image:LineareRegression1.png||width="400" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
43 <br>
44 Die Geradengleichung erhält man, indem man eine lineare Regression mit Hilfe des Taschenrechners durchführt:
45 <br>
46 {{formula}}k(x)=2,48x-4596{{/formula}}
47 <br><p>
48 mit Jahreszahl {{formula}}x{{/formula}} und CO,,2,,-Konzentration {{formula}}k{{/formula}} in ppm
49 </p>
50 Ist {{formula}}x{{/formula}} stattdessen die Zeit in Jahren seit 2012 (entspricht {{formula}}x=0{{/formula}}), so ergibt sich:
51 <br>
52 [[image:LineareRegression2.png||width="400" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
53 <br>
54 {{formula}}k(x)=2,48x+394{{/formula}}
55 <br><p>
56 mit Jahreszahl {{formula}}x{{/formula}} und CO,,2,,-Konzentration {{formula}}k{{/formula}} in ppm
57 </p>
58 //Hinweis: Statt einer Regressionsanalyse mit Taschenrechner könnte man hier auch eine Zeichnung anfertigen und per Hand eine Ausgleichsgerade anlegen//
59 {{/detail}}
60
61 === Teilaufgabe c) ===
62 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
63 {{formula}}k(2100)=2,48\cdot2100-4596=612{{/formula}}
64 <br>
65 Laut Modell ist im Jahr 2100 mit einer CO,,2,,-Konzentration von 612 ppm zu rechnen.
66 {{/detail}}
67
68
69 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
70 //Aufgabenstellung//
71 <br><p>
72 Berechne die CO,,2,,-Konzentration, die laut Ihrem Modell im Jahr 2100 zu erwarten ist.
73 </p>
74 //Lösung//
75 <br>
76 {{formula}}k(2100)=2,48\cdot2100-4596=612{{/formula}}
77 <br>
78 Laut Modell ist im Jahr 2100 mit einer CO,,2,,-Konzentration von 612 ppm zu rechnen.
79 {{/detail}}
80
81 === Teilaufgabe d) ===
82 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
83 Es ist nicht gesichert, dass sich die CO,,2,,-Konzentration bis zum Ende des Jahrhunderts weiterhin wie im Zeitraum 2012 bis 2022 entwickelt. Insbesondere könnten Klimaschutzmaßnahmen oder deren Ausbleiben dazu beitragen, dass sich der gesamte Verlauf der CO,,2,,-Konzentration grundsätzlich ändert.
84 {{/detail}}
85
86
87 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
88 //Aufgabenstellung//
89 <br><p>
90 Deute im Sachzusammenhang, warum ein mathematisches Modell, das auf Messungen innerhalb der Jahre 2012 bis 2022 beruht, nicht grundsätzlich für eine Vorhersage der CO,,2,,-Konzentration im Jahr 2100 verwendet werden kann.
91 </p>
92 //Lösung//
93 <br><p>
94 Es ist nicht gesichert, dass sich die CO,,2,,-Konzentration bis zum Ende des Jahrhunderts weiterhin wie im Zeitraum 2012 bis 2022 entwickelt. Insbesondere könnten Klimaschutzmaßnahmen oder deren Ausbleiben dazu beitragen, dass sich der gesamte Verlauf der CO,,2,,-Konzentration grundsätzlich ändert.
95 </p>
96 Zusätzlich könnte man einwenden, dass eine Prognose 78 Jahre in die Zukunft basierend auf Daten eines Jahrzehnts in den meisten Fällen nicht solide ist, zum Beispiel aufgrund von Messfehlern, die sich fortpflanzen.
97 {{/detail}}
98
99 === Teilaufgabe e) ===
100 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
101 <p>
102 Nur {{formula}}f{{/formula}} und {{formula}}j{{/formula}} sind additiv verknüpfte Funktionen aus je einer trigonometrischen Funktion und einer linearen Funktion.
103 </p>
104 Die Periode {{formula}}p{{/formula}} des trigonometrischen Anteils kann berechnet werden:
105 <div><p>
106 Funktion {{formula}}f: p_f=\frac{2\pi}{0,53}\approx11,9;{{/formula}}
107 <br>
108 Funktion {{formula}}j: p_j=\frac{2\pi}{1,29}\approx4,9{{/formula}}
109 </p>
110 Im Diagramm ist zu erkennen, dass der trigonometrische Anteil eine Periode besitzt, die größer als 10 ist. Folglich gibt die Funktion {{formula}}f{{/formula}} den abgebildeten Zusammenhang am besten wieder.
111 {{/detail}}
112
113
114 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
115 //Aufgabenstellung//
116 <br><p>
117 Der Verlauf der monatlichen Mittelwerte der CO,,2,,-Konzentration ist für die Jahre 2019 bis 2022 in der Abbildung dargestellt. Darin sind neben einem langfristigen Trend auch die Schwankungen innerhalb eines Jahres zu erkennen.
118 [[image:CO2Konzentration2019bis2022.png||width="500" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
119 Entscheide, welche der folgenden Funktionen den abgebildeten Zusammenhang am besten wiedergibt. Begründe deine Auswahl.
120 <br>
121 {{formula}}f(x)=0,19x+2,95\cdot\sin (0,53\cdot\left(x-0,17\right))+410,7{{/formula}}
122 <br>
123 {{formula}}g(x)=3,14\cdot\sin(0,53\cdot\left(x+0,14\right))+415,3{{/formula}}
124 <br>
125 {{formula}}h(x)=0,21x\cdot2,84\cdot\sin(0,51\cdot\left(x-0,24\right))+411,2{{/formula}}
126 <br>
127 {{formula}}j(x)=0,18x+3,09\cdot\sin(1,29\cdot\left(x-0,09\right))+409,2{{/formula}}
128 </p>
129 //Lösung//
130 <br><p>
131 Nur {{formula}}f{{/formula}} und {{formula}}j{{/formula}} sind additiv verknüpfte Funktionen aus je einer trigonometrischen Funktion und einer linearen Funktion.
132 </p>
133 Die Periode {{formula}}p{{/formula}} des trigonometrischen Anteils kann berechnet werden:
134 <div><p>
135 Funktion {{formula}}f: p_f=\frac{2\pi}{0,53}\approx11,9;{{/formula}}
136 <br>
137 Funktion {{formula}}j: p_j=\frac{2\pi}{1,29}\approx4,9{{/formula}}
138 </p><p>
139 Im Diagramm ist zu erkennen, dass der trigonometrische Anteil eine Periode besitzt, die größer als 10 ist. Folglich gibt die Funktion {{formula}}f{{/formula}} den abgebildeten Zusammenhang am besten wieder.
140 </p>
141 //Hinweis: Eine alleinige Untersuchung des (vermeintlichen) y-Achsenabschnitts ist nicht ausreichend und teilweise sogar irreführend.//
142 {{/detail}}