2024 eAN - Teil B - Analysis - Aufgabensatz II

Version 4.1 von akukin am 2024/12/30 17:38

Für eine reelle Zahl ist die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion gegeben durch $f(x)=a\cdot x^2\cdot(x-4)$
Der Graph von ist K_f .

Ermittle den Wert von . [2 BE]
Berechne die Koordinaten des Tiefpunktes von . [4 BE]
Berechne die Größe des Winkels, unter dem die Wendetangente an die x-Achse schneidet. [5 BE]
Der Graph der in $\mathbb{R}$ definierten Funktion geht aus durch Verschiebung um $\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}$ in negative x-Richtung sowie eine Verschiebung in y-Richtung hervor. Es gilt $s\left(x\right)=\frac{1}{3}x^3-\frac{16}{9}x$ .
Zeige unter Verwendung der Funktionsgleichung von $s^{\prime\prime}$ , dass an der Stelle 1 rechtsgekrümmt ist. [3 BE]
Der Ursprung, der Punkt $P\left(u\middle|0\right)$ und der Punkt $Q\left(u\middle| f(u)\right)$ bilden für $0,5\le u\le3,5$ im 4. Quadranten ein Dreieck mit dem Flächeninhalt .
Erläutere die Bedeutung der Stelle , die mit folgender Rechnung ermittelt wird:
$A^\prime(u_1)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ u_1=3$
Dabei gilt: $A^{\prime\prime}(3)<0$ und und [3 BE]
Eine quadratische Funktion hat dieselben Nullstellen wie . Die Graphen von und schließen im 4. Quadranten zwei gleich große Flächenstücke ein. [4 BE]
Ermittle eine Gleichung von .
Begründe, dass die in $\mathbb{R}$ definierte Funktion mit $h(x)=e^{f(x)}$ die gleichen Extremstellen wie die Funktion hat.[2 BE]