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Lösung Aufgabe 1

Version 1.1 von akukin am 2024/12/30 18:56

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont (offiziell) f(1)=-1\ \ \ \Rightarrow\ \ \ a=\frac{1}{3}

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont (offiziell) f^\prime(x)=x^2-\frac{8}{3}x;\ \ f^{\prime\prime}(x)=2x-\frac{8}{3}

f^\prime(x)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x^2-\frac{8}{3}x=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=0\ \ \vee\ \ x=\frac{8}{3}

Am Schaubild ist zu erkennen, dass der Tiefpunkt bei x=\frac{8}{3} liegt.
f\left(\frac{8}{3}\right)=-\frac{256}{81} \ \rightarrow \ \ \text{Tiefpunkt} \ T\left(\frac{8}{3}\middle|-\frac{256}{81}\right)

Teilaufgabe c)

Erwartungshorizont (offiziell) f^{\prime\prime}\left(x\right)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x=\frac{4}{3};\ \ f^{\prime\prime\prime}\left(\frac{4}{3}\right)\neq0 Somit ist x=\frac{4}{3} Wendestelle.
Steigung der Wendetangente: f^\prime\left(\frac{4}{3}\right)=-\frac{16}{9}
Schnittwinkel mit der x-Achse: \left|\tan^{-1}{\left(-\frac{16}{9}\right)}\right|\approx61^\circ

Teilaufgabe d)

Erwartungshorizont (offiziell) s^{\prime\prime}\left(x\right)=2x
f^{\prime\prime}(1)=s^{\prime\prime}\left(-\frac{1}{3}\right)=-\frac{2}{3}<0

Teilaufgabe e)

Erwartungshorizont (offiziell) Der Wert u_1=3 ist derjenige x-Wert, für den der Flächeninhalt des beschriebenen Dreiecks maximal wird. Es handelt sich um ein globales Maximum.

Teilaufgabe f)

Erwartungshorizont (offiziell) Gleichung der Parabel p mit p(x)=k\cdot x\cdot(x-4)
\int_{0}^{4}{\left(f(x)-g\left(x\right)\right)\mathrm{d} x}=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ \left[\frac{1}{12}x^4-\frac{4}{9}x^3-\frac{1}{3}kx^3+2kx^2\right]_0^4=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ k=\frac{2}{3}
p\left(x\right)=\frac{2}{3}\cdot x\cdot\left(x-4\right)

Teilaufgabe g)

Erwartungshorizont (offiziell) h^\prime(x)=e^{f(x)}\cdot f^\prime(x)
h^\prime(x)=0\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ e^{f(x)}\cdot f^\prime(x)=0 mit e^{f\left(x\right)}>0
h^\prime und f^\prime haben die gleichen Nullstellen mit den gleichen Vorzeichenwechseln. Folglich haben h und f dieselben Extremstellen.