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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/27 22:41
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,23 +1,9 @@
1 1  === Teilaufgabe a) ===
2 2  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
3 -[[image:B3.1Lösunga).png||width="450" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
4 -{{/detail}}
5 5  
6 -
7 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
8 -//Aufgabenstellung//
9 -<br><p>
10 -Zeichne das Gewächshaus in ein dreidimensionales Koordinatensystem, wenn die Eckpunkte {{formula}}A(5|0|0),B(5|2|0),C(0|2|0),F(5|2|2),G(0|2|2),I(5|1|2,5){{/formula}} und {{formula}}J(0|1|2,5){{/formula}} bekannt sind.
11 -</p>
12 -//Lösung//
13 -<br><p>
14 -Nachdem die gegebenen Punkte eingezeichnet sind, können die fehlenden Punkt {{formula}}D,E{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} durch Symmetrieüberlegungen oder mit Hilfe von Parallelverschiebungen ermittelt werden.
15 -</p>
16 -Beachte, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens die Länge 1 hat.
17 -
18 -[[image:B3.1Lösunga).png||width="450" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
19 19  {{/detail}}
20 20  
6 +
21 21  === Teilaufgabe b) ===
22 22  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
23 23  {{formula}}D(0|0|0),E(5|0|2),H(0|0|2){{/formula}}
... ... @@ -26,7 +26,7 @@
26 26  <br>
27 27  {{formula}}A_{ABFE}=2\cdot 2=4{{/formula}}
28 28  <br>
29 -{{formula}}A_{EFI}=\frac{1}{2}\cdot 0,5\cdot 2=0,5{{/formula}}
15 +{{formula}}A_{EFI}=\frac{1}{2}0,5\cdot 2=0,5{{/formula}}
30 30  <br>
31 31  {{formula}}A_{FGJI}=5\cdot \sqrt{1^2+0,5^2}\approx 5,59 {{/formula}}
32 32  <br>
... ... @@ -37,143 +37,32 @@
37 37  Das benötigte Glas wiegt {{formula}}401,8\text{kg}{{/formula}}.
38 38  {{/detail}}
39 39  
40 -
41 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
42 -//Aufgabenstellung//
43 -<br><p>
44 -Berechne das Gewicht des für das Gewächshaus benötigten Glases, wenn ein Quadratmeter Glas 10kg wiegt.
45 -</p>
46 -//Lösung//
47 -<br>
48 -Die fehlenden Punkte lauten {{formula}}D(0|0|0),E(5|0|2),H(0|0|2){{/formula}}.
49 -<br>
50 -Jede Form der Glasfläche kommt zweimal vor. Der Flächeninhalt der gesamten Glasfläche {{formula}}A{{/formula}} setzt sich zusammen aus:
51 -<br><p>
52 -{{formula}}A =2\cdot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_{EFI}+A_{FGJI}){{/formula}}
53 -</p>
54 -Die einzelnen Anteile sind entweder Rechtecke oder Dreiecke. Ihr jeweiliger Flächeninhalt kann mit den bekannten Formeln (siehe Merkhilfe) berechnet werden:
55 -<br>
56 -{{formula}}A_{BCGF}=5\cdot 2=10{{/formula}}
57 -<br>
58 -{{formula}}A_{ABFE}=2\cdot 2=4{{/formula}}
59 -<br>
60 -{{formula}}A_{EFI}=\frac{1}{2}\cdot 0,5\cdot 2=0,5{{/formula}}
61 -<br>
62 -Die Länge der Seite {{formula}}FI{{/formula}} kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden:
63 -<br><p>
64 -{{formula}}A_{FGJI}=5\cdot \sqrt{1^2+0,5^2}\approx 5,59 {{/formula}}
65 -</p>
66 -Als gesamter Flächeninhalt ergibt sich:
67 -<br>
68 -{{formula}}A =2\cdot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_{EFI}+A_{FGJI} )=2\cdot(10+4+0,5+5,59)=40,18{{/formula}}
69 -<br>
70 -Das ist der Flächeninhalt in Quadratmetern. Da jeder Quadratmeter 10 kg wiegt, ergibt sich für die gesamte benötigte Masse:
71 -<br>
72 -{{formula}}40,18\cdot 10=401,8{{/formula}}
73 -<br>
74 -Das benötigte Glas wiegt also {{formula}}401,8\text{kg}{{/formula}}.
75 -
76 -{{/detail}}
77 -
78 78  === Teilaufgabe c) ===
79 79  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
80 80  {{formula}}\overrightarrow{JG}=\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
81 81  <br>
82 -{{formula}}cos(\alpha)=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \ \alpha \approx 26,57^\circ{{/formula}}
30 +{{formula}}cos(\alpha)=\frac{(\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot (\left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \ α\approx 26,57^\circ{{/formula}}
83 83  {{/detail}}
84 84  
85 -
86 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
87 -//Aufgabenstellung//
88 -<br><p>
89 -Berechne den Neigungswinkel für eine der schrägen Dachkanten.
90 -</p>
91 -//Lösung//
92 -<br>
93 -Der Neigungswinkel ist der Winkel zwischen dem Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG}{{/formula}} und dem Erdboden, also der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene.
94 -<br>
95 -{{formula}}\overrightarrow{JG}=\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
96 -<br><p>
97 -Es gibt zwei Möglichkeiten, den Winkel zwischen einem Vektor und einer Koordinatenebene zu ermitteln:
98 -</p>
99 -Option 1:
100 -<br>
101 -Man bildet den in die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Koordinatenebene projizierten Vektor (indem man die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate des Vektors Null setzt) und berechnet anschließend den Winkel zwischen dem ursprünglichen Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG}{{/formula}} und dem projizierten Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG_p}{{/formula}} mit Hilfe des (inversen) Kosinus (siehe Merkhilfe):
102 -<br><p>
103 -{{formula}}cos(\alpha)=\frac{\overrightarrow{JG}\cdot \overrightarrow{JG_p}}{|\overrightarrow{JG}|\cdot |\overrightarrow{JG_p}|}=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \Leftrightarrow \ \alpha\approx \cos^{-1}(0,8944) \approx 26,57^\circ{{/formula}}
104 -</p>
105 -Option 2:
106 -<br>
107 -Man berechnet den Winkel zwischen dem Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG}{{/formula}} und dem Normalenvektor der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene und zieht das Ergebnis anschließend von 90° ab.
108 -<br>
109 -Manchmal sieht man auch eine Formel für den Winkel zwischen Vektor (bzw. Gerade) und Ebene, in der der Sinus vorkommt. Der Sinus führt dazu, dass man anschließend nicht mehr von 90° subtrahieren muss.
110 -{{/detail}}
111 -
112 112  === Teilaufgabe d) ===
113 113  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
114 114  Ebene {{formula}}E{{/formula}}, in der das Sonnensegel liegt:
115 115  <br>
116 -{{formula}}E: \vec{x}=\overrightarrow{OF}+r\cdot \overrightarrow{FG}+ s\cdot \overrightarrow{FS}=\left(\begin{matrix}5\\2\\2 \end{matrix}\right)+ r\cdot \left(\begin{matrix}-5\\0\\0 \end{matrix}\right)+ s\cdot \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right) \quad \ \ r,s\in \mathbb{R}{{/formula}}
37 +{{formula}}E: \vec{x}=\overrightarrow{OF}+r\cdot \overrightarrow{FG}+ s\cdot \overrightarrow{FS} \quad \ \ r,s\in \mathbb{R}{{/formula}}
117 117  <br>
118 118  {{formula}}2+2s=3 \ \Leftrightarrow \ s=0,5{{/formula}}
119 -<br>
120 -{{formula}}x_3=2-0,5\cdot 0,5=1,75<1,8 \ \text{(m)}{{/formula}} (d. h. der Baumstumpf muss gekürzt werden)
40 +{{formula}}x_3=2-0,5⋅0,5=1,75<1,8 \ \text{(m)}{{/formula}} (d. h. der Baumstumpf muss gekürzt werden)
121 121  {{/detail}}
122 122  
123 -
124 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
125 -//Aufgabenstellung//
126 -<br><p>
127 -Untersuche, ob der Stumpf gekürzt werden muss, damit das Segel wie geplant gespannt werden kann.
128 -</p>
129 -//Lösung//
130 -<br>
131 -Es ist sinnvoll, zuerst eine Ebenengleichung der Ebene aufzustellen, in der das Sonnensegel liegt.
132 -<br>
133 -{{formula}}E: \vec{x}=\overrightarrow{OF}+r\cdot \overrightarrow{FG}+ s\cdot \overrightarrow{FS}=\left(\begin{matrix}5\\2\\2 \end{matrix}\right)+ r\cdot \left(\begin{matrix}-5\\0\\0 \end{matrix}\right)+ s\cdot \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right) \quad \ \ r,s\in \mathbb{R}{{/formula}}
134 -<br>
135 -Da der Baumstumpf im Punkt {{formula}}(3|3|0){{/formula}} steht, muss die {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate desjenigen Punktes, der auf der Ebene liegt und sich vertikal über dem Baumstumpf befindet, den Wert 3 haben.
136 -<br>
137 -Eingesetzt in die Ebenengleichung (zweite Zeile, {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente) ergibt sich:
138 -<br>
139 -{{formula}}2+2s=3 \ \Leftrightarrow \ s=0,5{{/formula}}
140 -<br>
141 -Mit diesem Wert für den Parameter {{formula}}s{{/formula}} lässt sich die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate des entsprechenden Punktes auf der Ebene berechnen. Setzt man {{formula}}s=0,5{{/formula}} in die Ebenengleichung ein, erhält man:
142 -<br>
143 -{{formula}}x_3=2-0,5\cdot 0,5=1,75{{/formula}}
144 -<br>
145 -Das bedeutet, dass das Sonnensegel am Ort des Baumstumpfes eine Höhe von 1,75m hat, während der Baumstumpf selbst 1,8m hoch ist. Folglich muss der Baumstumpf gekürzt werden.
146 -
147 -{{/detail}}
148 -
149 149  === Teilaufgabe e) ===
150 150  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
151 -{{formula}}\overrightarrow{FS}= \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{FS}|=\sqrt{4+4+0,25}=\sqrt{8,25}{{/formula}}
45 +{{formula}}\overrightarrow{FS}= (\left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right);|\overrightarrow{FS}|=\sqrt{4+4+0,25}=\sqrt{8,25}{{/formula}}
152 152  <br>
153 -{{formula}}\overrightarrow{GS}= \left(\begin{matrix}3\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{GS}|=\sqrt{9+4+0,25}=\sqrt{13,25}{{/formula}}
47 +{{formula}}\overrightarrow{GS}= (\left(\begin{matrix}3\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); |\overrightarrow{GS}|=\sqrt{9+4+0,25}=\sqrt{13,25}{{/formula}}
154 154  <br>
155 155  {{formula}}|\overrightarrow{FG}|=5{{/formula}}
156 156  {{/detail}}
157 157  
158 -
159 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
160 -//Aufgabenstellung//
161 -<br><p>
162 -Zeige, dass es sich bei dem Segel nicht um ein gleichschenkliges Dreieck handelt.
163 -</p>
164 -//Lösung//
165 -<br>
166 -Gleichschenklig bedeutet, dass mindestens zwei von drei Seiten gleichlang sind. Mit Hilfe der Beträge der Verbindungsvektoren der Eckpunkte können die Seitenlängen berechnet und verglichen werden.
167 -<br>
168 -{{formula}}\overrightarrow{FS}= \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{FS}|=\sqrt{4+4+0,25}=\sqrt{8,25}{{/formula}}
169 -<br>
170 -{{formula}}\overrightarrow{GS}= \left(\begin{matrix}3\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{GS}|=\sqrt{9+4+0,25}=\sqrt{13,25}{{/formula}}
171 -<br>
172 -{{formula}}|\overrightarrow{FG}|=5{{/formula}}
173 -<br>
174 -Da alle drei Seiten unterschiedlich lang sind, ist das Sonnensegel kein gleichschenkliges Dreieck.
175 -{{/detail}}
176 -
177 177  === Teilaufgabe f) ===
178 178  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
179 179  {{formula}}\overrightarrow{FP_k}=\left(\begin{matrix}-2\\k-2\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
... ... @@ -188,60 +188,10 @@
188 188  <br><p>
189 189  Die Lösung {{formula}}k_2{{/formula}} ist aufgrund des Sachzusammenhangs irrelevant.
190 190  </p>
191 -Alternativ: Ansatz {{formula}}|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx 5,97{{/formula}}.
66 +Alternativ: Ansatz {{formula}}|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx5,97{{/formula}}.
192 192  {{/detail}}
193 193  
194 -
195 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
196 -//Aufgabenstellung//
197 -<br><p>
198 -Bestimme einen Wert für {{formula}}k{{/formula}}, so dass durch die Verschiebung der Pfostenspitze in den Punkt {{formula}}P_k(3|k|1,5){{/formula}} ein gleichschenkliges Dreieck {{formula}}FGP_k{{/formula}} entsteht.
199 -</p>
200 -//Lösung//
201 -<br>
202 -Die Länge der Seite {{formula}}FP_k{{/formula}} des neuen Dreiecks {{formula}}FGP_k{{/formula}} kann mit Hilfe des Betrags des Verbindungsvektors zwischen den Punkten {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}P_k{{/formula}} ermittelt werden.
203 -<br>
204 -{{formula}}\overrightarrow{FP_k}=\left(\begin{matrix}-2\\k-2\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
205 -<br>
206 -Den Betrag dieses Verbindungsvektors kann man mit der Länge der Seite {{formula}}GF{{/formula}} gleichsetzen und die resultierende Gleichung nach {{formula}}k{{/formula}} auflösen.
207 -<br>
208 -
209 -{{formula}}
210 -\begin{align}
211 - |\overrightarrow{FP_k}| & = |\overrightarrow{GF}| \\
212 - \Leftrightarrow \quad & \sqrt{4,25+(k-2)^2 } = 5 \\
213 - \Leftrightarrow \quad & 4,25+(k-2)^2 = 25 \\
214 - \Leftrightarrow \quad & k^2-4k-16,75 = 0 \\
215 - \Leftrightarrow \quad & k_1 \approx 6,56; \quad k_2 \approx -2,56
216 -\end{align}
217 -{{/formula}}
218 -
219 -D. h. für {{formula}}k_1{{/formula}} ist {{formula}}FGP_k{{/formula}} gleichschenklig.
220 -<br><p>
221 -Die Lösung {{formula}}k_2{{/formula}} ist aufgrund des Sachzusammenhangs irrelevant, denn mit einer negativen {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate läge der Pfosten auf der falschen Seite des Glashauses.
222 -</p>
223 -Alternativ: Ansatz {{formula}}|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx5,97{{/formula}}.
224 -{{/detail}}
225 -
226 226  === Teilaufgabe g) ===
227 227  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
228 228  Mit dem Ansatz kann die {{formula}}x_1{{/formula}}-Koordinate des Punktes {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}, der von den beiden Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} denselben Abstand hat, bestimmt werden.
229 229  {{/detail}}
230 -
231 -
232 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
233 -//Aufgabenstellung//
234 -<br>
235 - Zur Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} ergibt sich folgender Ansatz:
236 -<br>
237 -{{formula}}\left|\left(\begin{matrix}5-t\\ 2-4\\0-3 \end{matrix}\right)\right| =\left|\left(\begin{matrix}0-t\\ 2-4\\2-3 \end{matrix}\right)\right| {{/formula}}
238 -<br><p>
239 -Interpretiere diesen Ansatz.
240 -</p>
241 -//Lösung//
242 -<br>
243 -Man kann beide Seiten der Gleichung als Beträge von Verbindungsvektoren auffassen.
244 -Die Spitze der Verbindungsvektoren ist identisch, nämlich {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}. Die Füsse der Verbindungsvektoren sind Punkte, die in der Aufgabe vorkommen.
245 -Mit dem Ansatz kann also die {{formula}}x_1{{/formula}}-Koordinate des Punktes {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}, der von den beiden Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} denselben Abstand hat, bestimmt werden.
246 -{{/detail}}
247 -