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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Marcel Haidle am 2026/02/25 21:30
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bearbeitet von Marcel Haidle
am 2026/02/25 21:18
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.marcel
1 +XWiki.akukin
Inhalt
... ... @@ -79,7 +79,7 @@
79 79  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
80 80  {{formula}}\overrightarrow{JG}=\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
81 81  <br>
82 -{{formula}}\cos(\alpha)=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \ \alpha \approx 26,57^\circ{{/formula}}
82 +{{formula}}cos(\alpha)=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \ \alpha \approx 26,57^\circ{{/formula}}
83 83  {{/detail}}
84 84  
85 85  
... ... @@ -100,7 +100,7 @@
100 100  <br>
101 101  Man bildet den in die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Koordinatenebene projizierten Vektor (indem man die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate des Vektors Null setzt) und berechnet anschließend den Winkel zwischen dem ursprünglichen Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG}{{/formula}} und dem projizierten Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG_p}{{/formula}} mit Hilfe des (inversen) Kosinus (siehe Merkhilfe):
102 102  <br><p>
103 -{{formula}}\cos(\alpha)=\frac{\overrightarrow{JG}\cdot \overrightarrow{JG_p}}{|\overrightarrow{JG}|\cdot |\overrightarrow{JG_p}|}=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \Leftrightarrow \ \alpha\approx \cos^{-1}(0,8944) \approx 26,57^\circ{{/formula}}
103 +{{formula}}cos(\alpha)=\frac{\overrightarrow{JG}\cdot \overrightarrow{JG_p}}{|\overrightarrow{JG}|\cdot |\overrightarrow{JG_p}|}=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \Leftrightarrow \ \alpha\approx \cos^{-1}(0,8944) \approx 26,57^\circ{{/formula}}
104 104  </p>
105 105  Option 2:
106 106  <br>
... ... @@ -132,10 +132,9 @@
132 132  <br>
133 133  {{formula}}E: \vec{x}=\overrightarrow{OF}+r\cdot \overrightarrow{FG}+ s\cdot \overrightarrow{FS}=\left(\begin{matrix}5\\2\\2 \end{matrix}\right)+ r\cdot \left(\begin{matrix}-5\\0\\0 \end{matrix}\right)+ s\cdot \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right) \quad \ \ r,s\in \mathbb{R}{{/formula}}
134 134  <br>
135 -Da der Baumstumpf im Punkt {{formula}}(3|3|0){{/formula}} steht, muss die {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate desjenigen Punktes, der auf der Ebene liegt und sich vertikal über dem Baumstumpf befindet, den Wert 3 haben.
135 +Da der Baumstumpf im Punkte {{formula}}(3|3|0){{/formula}} steht, muss die {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate desjenigen Punktes, der auf der Ebene liegt und sich vertikal über dem Baumstumpf befindet, den Wert 3 haben.
136 136  <br>
137 137  Eingesetzt in die Ebenengleichung (zweite Zeile, {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente) ergibt sich:
138 -<br>
139 139  {{formula}}2+2s=3 \ \Leftrightarrow \ s=0,5{{/formula}}
140 140  <br>
141 141  Mit diesem Wert für den Parameter {{formula}}s{{/formula}} lässt sich die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate des entsprechenden Punktes auf der Ebene berechnen. Setzt man {{formula}}s=0,5{{/formula}} in die Ebenengleichung ein, erhält man:
... ... @@ -142,7 +142,7 @@
142 142  <br>
143 143  {{formula}}x_3=2-0,5\cdot 0,5=1,75{{/formula}}
144 144  <br>
145 -Das bedeutet, dass das Sonnensegel am Ort des Baumstumpfes eine Höhe von 1,75m hat, während der Baumstumpf selbst 1,8m hoch ist. Folglich muss der Baumstumpf gekürzt werden.
144 +Das bedeutet, dass das Sonnensegel am Ort des Baumstumpfes eine Höhe von 1,75 m hat, während der Baumstumpf selbst 1,8 m hoch ist. Folglich muss der Baumstumpf gekürzt werden.
146 146  
147 147  {{/detail}}
148 148  
... ... @@ -207,15 +207,16 @@
207 207  <br>
208 208  
209 209  {{formula}}
210 -\begin{align*}
209 +\begin{align}
211 211   |\overrightarrow{FP_k}| & = |\overrightarrow{GF}| \\
212 212   \Leftrightarrow \quad & \sqrt{4,25+(k-2)^2 } = 5 \\
213 213   \Leftrightarrow \quad & 4,25+(k-2)^2 = 25 \\
214 214   \Leftrightarrow \quad & k^2-4k-16,75 = 0 \\
215 215   \Leftrightarrow \quad & k_1 \approx 6,56; \quad k_2 \approx -2,56
216 -\end{align*}
215 +\end{align}
217 217  {{/formula}}
218 218  
218 +<br>
219 219  D. h. für {{formula}}k_1{{/formula}} ist {{formula}}FGP_k{{/formula}} gleichschenklig.
220 220  <br><p>
221 221  Die Lösung {{formula}}k_2{{/formula}} ist aufgrund des Sachzusammenhangs irrelevant, denn mit einer negativen {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate läge der Pfosten auf der falschen Seite des Glashauses.
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