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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Marcel Haidle am 2026/02/25 21:30
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bearbeitet von akukin
am 2025/01/25 13:06
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am 2026/02/25 21:23
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.akukin
1 +XWiki.marcel
Inhalt
... ... @@ -79,7 +79,7 @@
79 79  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
80 80  {{formula}}\overrightarrow{JG}=\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
81 81  <br>
82 -{{formula}}cos(\alpha)=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \ \alpha \approx 26,57^\circ{{/formula}}
82 +{{formula}}\cos(\alpha)=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \ \alpha \approx 26,57^\circ{{/formula}}
83 83  {{/detail}}
84 84  
85 85  
... ... @@ -100,7 +100,7 @@
100 100  <br>
101 101  Man bildet den in die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Koordinatenebene projizierten Vektor (indem man die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate des Vektors Null setzt) und berechnet anschließend den Winkel zwischen dem ursprünglichen Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG}{{/formula}} und dem projizierten Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG_p}{{/formula}} mit Hilfe des (inversen) Kosinus (siehe Merkhilfe):
102 102  <br><p>
103 -{{formula}}cos(\alpha)=\frac{\overrightarrow{JG}\cdot \overrightarrow{JG_p}}{|\overrightarrow{JG}|\cdot |\overrightarrow{JG_p}|}=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \Leftrightarrow \ \alpha\approx \cos^{-1}(0,8944) \approx 26,57^\circ{{/formula}}
103 +{{formula}}\cos(\alpha)=\frac{\overrightarrow{JG}\cdot \overrightarrow{JG_p}}{|\overrightarrow{JG}|\cdot |\overrightarrow{JG_p}|}=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \Leftrightarrow \ \alpha\approx \cos^{-1}(0,8944) \approx 26,57^\circ{{/formula}}
104 104  </p>
105 105  Option 2:
106 106  <br>
... ... @@ -127,14 +127,16 @@
127 127  Untersuche, ob der Stumpf gekürzt werden muss, damit das Segel wie geplant gespannt werden kann.
128 128  </p>
129 129  //Lösung//
130 +[[image:Skizze-Teilaufgabe-d.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
130 130  <br>
131 131  Es ist sinnvoll, zuerst eine Ebenengleichung der Ebene aufzustellen, in der das Sonnensegel liegt.
132 132  <br>
133 133  {{formula}}E: \vec{x}=\overrightarrow{OF}+r\cdot \overrightarrow{FG}+ s\cdot \overrightarrow{FS}=\left(\begin{matrix}5\\2\\2 \end{matrix}\right)+ r\cdot \left(\begin{matrix}-5\\0\\0 \end{matrix}\right)+ s\cdot \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right) \quad \ \ r,s\in \mathbb{R}{{/formula}}
134 134  <br>
135 -Da der Baumstumpf im Punkte {{formula}}(3|3|0){{/formula}} steht, muss die {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate desjenigen Punktes, der auf der Ebene liegt und sich vertikal über dem Baumstumpf befindet, den Wert 3 haben.
136 +Da der Baumstumpf im Punkt {{formula}}(3|3|0){{/formula}} steht, muss die {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate desjenigen Punktes, der auf der Ebene liegt und sich vertikal über dem Baumstumpf befindet, den Wert 3 haben.
136 136  <br>
137 137  Eingesetzt in die Ebenengleichung (zweite Zeile, {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente) ergibt sich:
139 +<br>
138 138  {{formula}}2+2s=3 \ \Leftrightarrow \ s=0,5{{/formula}}
139 139  <br>
140 140  Mit diesem Wert für den Parameter {{formula}}s{{/formula}} lässt sich die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate des entsprechenden Punktes auf der Ebene berechnen. Setzt man {{formula}}s=0,5{{/formula}} in die Ebenengleichung ein, erhält man:
... ... @@ -141,7 +141,7 @@
141 141  <br>
142 142  {{formula}}x_3=2-0,5\cdot 0,5=1,75{{/formula}}
143 143  <br>
144 -Das bedeutet, dass das Sonnensegel am Ort des Baumstumpfes eine Höhe von 1,75 m hat, während der Baumstumpf selbst 1,8 m hoch ist. Folglich muss der Baumstumpf gekürzt werden.
146 +Das bedeutet, dass das Sonnensegel am Ort des Baumstumpfes eine Höhe von 1,75m hat, während der Baumstumpf selbst 1,8m hoch ist. Folglich muss der Baumstumpf gekürzt werden.
145 145  
146 146  {{/detail}}
147 147  
... ... @@ -154,6 +154,25 @@
154 154  {{formula}}|\overrightarrow{FG}|=5{{/formula}}
155 155  {{/detail}}
156 156  
159 +
160 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
161 +//Aufgabenstellung//
162 +<br><p>
163 +Zeige, dass es sich bei dem Segel nicht um ein gleichschenkliges Dreieck handelt.
164 +</p>
165 +//Lösung//
166 +<br>
167 +Gleichschenklig bedeutet, dass mindestens zwei von drei Seiten gleichlang sind. Mit Hilfe der Beträge der Verbindungsvektoren der Eckpunkte können die Seitenlängen berechnet und verglichen werden.
168 +<br>
169 +{{formula}}\overrightarrow{FS}= \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{FS}|=\sqrt{4+4+0,25}=\sqrt{8,25}{{/formula}}
170 +<br>
171 +{{formula}}\overrightarrow{GS}= \left(\begin{matrix}3\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{GS}|=\sqrt{9+4+0,25}=\sqrt{13,25}{{/formula}}
172 +<br>
173 +{{formula}}|\overrightarrow{FG}|=5{{/formula}}
174 +<br>
175 +Da alle drei Seiten unterschiedlich lang sind, ist das Sonnensegel kein gleichschenkliges Dreieck.
176 +{{/detail}}
177 +
157 157  === Teilaufgabe f) ===
158 158  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
159 159  {{formula}}\overrightarrow{FP_k}=\left(\begin{matrix}-2\\k-2\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
... ... @@ -168,10 +168,60 @@
168 168  <br><p>
169 169  Die Lösung {{formula}}k_2{{/formula}} ist aufgrund des Sachzusammenhangs irrelevant.
170 170  </p>
171 -Alternativ: Ansatz {{formula}}|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx5,97{{/formula}}.
192 +Alternativ: Ansatz {{formula}}|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx 5,97{{/formula}}.
172 172  {{/detail}}
173 173  
195 +
196 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
197 +//Aufgabenstellung//
198 +<br><p>
199 +Bestimme einen Wert für {{formula}}k{{/formula}}, so dass durch die Verschiebung der Pfostenspitze in den Punkt {{formula}}P_k(3|k|1,5){{/formula}} ein gleichschenkliges Dreieck {{formula}}FGP_k{{/formula}} entsteht.
200 +</p>
201 +//Lösung//
202 +<br>
203 +Die Länge der Seite {{formula}}FP_k{{/formula}} des neuen Dreiecks {{formula}}FGP_k{{/formula}} kann mit Hilfe des Betrags des Verbindungsvektors zwischen den Punkten {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}P_k{{/formula}} ermittelt werden.
204 +<br>
205 +{{formula}}\overrightarrow{FP_k}=\left(\begin{matrix}-2\\k-2\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
206 +<br>
207 +Den Betrag dieses Verbindungsvektors kann man mit der Länge der Seite {{formula}}GF{{/formula}} gleichsetzen und die resultierende Gleichung nach {{formula}}k{{/formula}} auflösen.
208 +<br>
209 +
210 +{{formula}}
211 +\begin{align*}
212 + |\overrightarrow{FP_k}| & = |\overrightarrow{GF}| \\
213 + \Leftrightarrow \quad & \sqrt{4,25+(k-2)^2 } = 5 \\
214 + \Leftrightarrow \quad & 4,25+(k-2)^2 = 25 \\
215 + \Leftrightarrow \quad & k^2-4k-16,75 = 0 \\
216 + \Leftrightarrow \quad & k_1 \approx 6,56; \quad k_2 \approx -2,56
217 +\end{align*}
218 +{{/formula}}
219 +
220 +D. h. für {{formula}}k_1{{/formula}} ist {{formula}}FGP_k{{/formula}} gleichschenklig.
221 +<br><p>
222 +Die Lösung {{formula}}k_2{{/formula}} ist aufgrund des Sachzusammenhangs irrelevant, denn mit einer negativen {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate läge der Pfosten auf der falschen Seite des Glashauses.
223 +</p>
224 +Alternativ: Ansatz {{formula}}|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx5,97{{/formula}}.
225 +{{/detail}}
226 +
174 174  === Teilaufgabe g) ===
175 175  {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
176 176  Mit dem Ansatz kann die {{formula}}x_1{{/formula}}-Koordinate des Punktes {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}, der von den beiden Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} denselben Abstand hat, bestimmt werden.
177 177  {{/detail}}
231 +
232 +
233 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
234 +//Aufgabenstellung//
235 +<br>
236 + Zur Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} ergibt sich folgender Ansatz:
237 +<br>
238 +{{formula}}\left|\left(\begin{matrix}5-t\\ 2-4\\0-3 \end{matrix}\right)\right| =\left|\left(\begin{matrix}0-t\\ 2-4\\2-3 \end{matrix}\right)\right| {{/formula}}
239 +<br><p>
240 +Interpretiere diesen Ansatz.
241 +</p>
242 +//Lösung//
243 +<br>
244 +Man kann beide Seiten der Gleichung als Beträge von Verbindungsvektoren auffassen.
245 +Die Spitze der Verbindungsvektoren ist identisch, nämlich {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}. Die Füsse der Verbindungsvektoren sind Punkte, die in der Aufgabe vorkommen.
246 +Mit dem Ansatz kann also die {{formula}}x_1{{/formula}}-Koordinate des Punktes {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}, der von den beiden Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} denselben Abstand hat, bestimmt werden.
247 +{{/detail}}
248 +
Skizze-Teilaufgabe-d.ggb
Author
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1 +XWiki.marcel
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Inhalt
Skizze-Teilaufgabe-d.png
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1 +XWiki.marcel
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