Lösung Lineare Algebra

Version 9.1 von akukin am 2025/01/25 13:06

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont (offiziell)

Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung

Zeichne das Gewächshaus in ein dreidimensionales Koordinatensystem, wenn die Eckpunkte A(5|0|0),B(5|2|0),C(0|2|0),F(5|2|2),G(0|2|2),I(5|1|2,5) und J(0|1|2,5) bekannt sind.

Lösung

Nachdem die gegebenen Punkte eingezeichnet sind, können die fehlenden Punkt D,E und durch Symmetrieüberlegungen oder mit Hilfe von Parallelverschiebungen ermittelt werden.

Beachte, dass die x_1

-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens die Länge 1 hat. B3.1Lösunga).png

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont (offiziell)

$A_{BCGF}=5\cdot 2=10$
$A_{ABFE}=2\cdot 2=4$
$A_{EFI}=\frac{1}{2}\cdot 0,5\cdot 2=0,5$
$A_{FGJI}=5\cdot \sqrt{1^2+0,5^2}\approx 5,59$
$A =2\cdot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_{EFI}+A_{FGJI} )=2\cdot (10+4+0,5+5,59)=40,18$
$40,18\cdot 10=401,8$
Das benötigte Glas wiegt $401,8\text{kg}$ .

Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung

Berechne das Gewicht des für das Gewächshaus benötigten Glases, wenn ein Quadratmeter Glas 10kg wiegt.

Lösung
Die fehlenden Punkte lauten D(0|0|0),E(5|0|2),H(0|0|2)

.
Jede Form der Glasfläche kommt zweimal vor. Der Flächeninhalt der gesamten Glasfläche

setzt sich zusammen aus:

$A =2\cdot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_{EFI}+A_{FGJI})$

Die einzelnen Anteile sind entweder Rechtecke oder Dreiecke. Ihr jeweiliger Flächeninhalt kann mit den bekannten Formeln (siehe Merkhilfe) berechnet werden:
$A_{BCGF}=5\cdot 2=10$
$A_{ABFE}=2\cdot 2=4$
$A_{EFI}=\frac{1}{2}\cdot 0,5\cdot 2=0,5$
Die Länge der Seite

kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden:

$A_{FGJI}=5\cdot \sqrt{1^2+0,5^2}\approx 5,59$

Als gesamter Flächeninhalt ergibt sich:
$A =2\cdot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_{EFI}+A_{FGJI} )=2\cdot(10+4+0,5+5,59)=40,18$
Das ist der Flächeninhalt in Quadratmetern. Da jeder Quadratmeter 10 kg wiegt, ergibt sich für die gesamte benötigte Masse:
$40,18\cdot 10=401,8$
Das benötigte Glas wiegt also $401,8\text{kg}$ .

Teilaufgabe c)

Erwartungshorizont (offiziell)

$\overrightarrow{JG}=\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)$
$cos(\alpha)=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \ \alpha \approx 26,57^\circ$

Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung

Berechne den Neigungswinkel für eine der schrägen Dachkanten.

Lösung
Der Neigungswinkel ist der Winkel zwischen dem Vektor $\overrightarrow{JG}$ und dem Erdboden, also der x_1x_2

-Ebene.
$\overrightarrow{JG}=\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)$

Es gibt zwei Möglichkeiten, den Winkel zwischen einem Vektor und einer Koordinatenebene zu ermitteln:

Option 1:
Man bildet den in die x_1x_2

-Koordinatenebene projizierten Vektor (indem man die x_3

-Koordinate des Vektors Null setzt) und berechnet anschließend den Winkel zwischen dem ursprünglichen Vektor $\overrightarrow{JG}$ und dem projizierten Vektor $\overrightarrow{JG_p}$ mit Hilfe des (inversen) Kosinus (siehe Merkhilfe):

$cos(\alpha)=\frac{\overrightarrow{JG}\cdot \overrightarrow{JG_p}}{|\overrightarrow{JG}|\cdot |\overrightarrow{JG_p}|}=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \Leftrightarrow \ \alpha\approx \cos^{-1}(0,8944) \approx 26,57^\circ$

Option 2:
Man berechnet den Winkel zwischen dem Vektor $\overrightarrow{JG}$ und dem Normalenvektor der x_1x_2

-Ebene und zieht das Ergebnis anschließend von 90° ab.
Manchmal sieht man auch eine Formel für den Winkel zwischen Vektor (bzw. Gerade) und Ebene, in der der Sinus vorkommt. Der Sinus führt dazu, dass man anschließend nicht mehr von 90° subtrahieren muss.

Teilaufgabe d)

Erwartungshorizont (offiziell)

Ebene

, in der das Sonnensegel liegt:
$E: \vec{x}=\overrightarrow{OF}+r\cdot \overrightarrow{FG}+ s\cdot \overrightarrow{FS}=\left(\begin{matrix}5\\2\\2 \end{matrix}\right)+ r\cdot \left(\begin{matrix}-5\\0\\0 \end{matrix}\right)+ s\cdot \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right) \quad \ \ r,s\in \mathbb{R}$
$2+2s=3 \ \Leftrightarrow \ s=0,5$
$x_3=2-0,5\cdot 0,5=1,75<1,8 \ \text{(m)}$ (d. h. der Baumstumpf muss gekürzt werden)

Erläuterung der Lösung

Aufgabenstellung

Untersuche, ob der Stumpf gekürzt werden muss, damit das Segel wie geplant gespannt werden kann.

Lösung
Es ist sinnvoll, zuerst eine Ebenengleichung der Ebene aufzustellen, in der das Sonnensegel liegt.
$E: \vec{x}=\overrightarrow{OF}+r\cdot \overrightarrow{FG}+ s\cdot \overrightarrow{FS}=\left(\begin{matrix}5\\2\\2 \end{matrix}\right)+ r\cdot \left(\begin{matrix}-5\\0\\0 \end{matrix}\right)+ s\cdot \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right) \quad \ \ r,s\in \mathbb{R}$
Da der Baumstumpf im Punkte (3|3|0)

steht, muss die x_2

-Koordinate desjenigen Punktes, der auf der Ebene liegt und sich vertikal über dem Baumstumpf befindet, den Wert 3 haben.
Eingesetzt in die Ebenengleichung (zweite Zeile, x_2

-Komponente) ergibt sich: $2+2s=3 \ \Leftrightarrow \ s=0,5$
Mit diesem Wert für den Parameter

lässt sich die x_3

-Koordinate des entsprechenden Punktes auf der Ebene berechnen. Setzt man s=0,5

in die Ebenengleichung ein, erhält man:
$x_3=2-0,5\cdot 0,5=1,75$
Das bedeutet, dass das Sonnensegel am Ort des Baumstumpfes eine Höhe von 1,75 m hat, während der Baumstumpf selbst 1,8 m hoch ist. Folglich muss der Baumstumpf gekürzt werden.

Teilaufgabe e)

Erwartungshorizont (offiziell)

$\overrightarrow{FS}= \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{FS}|=\sqrt{4+4+0,25}=\sqrt{8,25}$
$\overrightarrow{GS}= \left(\begin{matrix}3\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{GS}|=\sqrt{9+4+0,25}=\sqrt{13,25}$
$|\overrightarrow{FG}|=5$

Teilaufgabe f)

Erwartungshorizont (offiziell)

$\overrightarrow{FP_k}=\left(\begin{matrix}-2\\k-2\\-0,5 \end{matrix}\right)$
$|\overrightarrow{FP_k}|=|\overrightarrow{GF}| \ \Leftrightarrow \ 5=\sqrt{4,25+(k-2)^2 }$
0=k^2-4k-16,75