Lösung Lineare Algebra

1

=== Teilaufgabe a) ===

2

3

[[image:B3.1Lösunga).png||width="450" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]

//Aufgabenstellung//

Zeichne das Gewächshaus in ein dreidimensionales Koordinatensystem, wenn die Eckpunkte {{formula}}A(5|0|0),B(5|2|0),C(0|2|0),F(5|2|2),G(0|2|2),I(5|1|2,5){{/formula}} und {{formula}}J(0|1|2,5){{/formula}} bekannt sind.

//Lösung//

Nachdem die gegebenen Punkte eingezeichnet sind, können die fehlenden Punkt {{formula}}D,E{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} durch Symmetrieüberlegungen oder mit Hilfe von Parallelverschiebungen ermittelt werden.

15

16

Beachte, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens die Länge 1 hat.

17

18

[[image:B3.1Lösunga).png||width="450" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]

19

20

21

=== Teilaufgabe b) ===

22

23

{{formula}}D(0|0|0),E(5|0|2),H(0|0|2){{/formula}}

24

25

{{formula}}A_{BCGF}=5\cdot 2=10{{/formula}}

26

27

{{formula}}A_{ABFE}=2\cdot 2=4{{/formula}}

28

29

{{formula}}A_{EFI}=\frac{1}{2}\cdot 0,5\cdot 2=0,5{{/formula}}

30

31

{{formula}}A_{FGJI}=5\cdot \sqrt{1^2+0,5^2}\approx 5,59 {{/formula}}

32

33

{{formula}}A =2\cdot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_{EFI}+A_{FGJI} )=2\cdot (10+4+0,5+5,59)=40,18{{/formula}}

34

35

{{formula}}40,18\cdot 10=401,8{{/formula}}

36

37

Das benötigte Glas wiegt {{formula}}401,8\text{kg}{{/formula}}.

//Aufgabenstellung//

Berechne das Gewicht des für das Gewächshaus benötigten Glases, wenn ein Quadratmeter Glas 10kg wiegt.

//Lösung//

Die fehlenden Punkte lauten {{formula}}D(0|0|0),E(5|0|2),H(0|0|2){{/formula}}.

49

50

Jede Form der Glasfläche kommt zweimal vor. Der Flächeninhalt der gesamten Glasfläche {{formula}}A{{/formula}} setzt sich zusammen aus:

51

52

{{formula}}A =2\cdot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_{EFI}+A_{FGJI}){{/formula}}

53

54

Die einzelnen Anteile sind entweder Rechtecke oder Dreiecke. Ihr jeweiliger Flächeninhalt kann mit den bekannten Formeln (siehe Merkhilfe) berechnet werden:

55

56

{{formula}}A_{BCGF}=5\cdot 2=10{{/formula}}

57

58

{{formula}}A_{ABFE}=2\cdot 2=4{{/formula}}

59

60

{{formula}}A_{EFI}=\frac{1}{2}\cdot 0,5\cdot 2=0,5{{/formula}}

61

62

Die Länge der Seite {{formula}}FI{{/formula}} kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden:

63

64

{{formula}}A_{FGJI}=5\cdot \sqrt{1^2+0,5^2}\approx 5,59 {{/formula}}

65

66

Als gesamter Flächeninhalt ergibt sich:

67

68

{{formula}}A =2\cdot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_{EFI}+A_{FGJI} )=2\cdot(10+4+0,5+5,59)=40,18{{/formula}}

69

70

Das ist der Flächeninhalt in Quadratmetern. Da jeder Quadratmeter 10 kg wiegt, ergibt sich für die gesamte benötigte Masse:

71

72

{{formula}}40,18\cdot 10=401,8{{/formula}}

73

74

Das benötigte Glas wiegt also {{formula}}401,8\text{kg}{{/formula}}.

=== Teilaufgabe c) ===

79

80

{{formula}}\overrightarrow{JG}=\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}

81

82

{{formula}}cos(\alpha)=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \ \alpha \approx 26,57^\circ{{/formula}}

//Aufgabenstellung//

Berechne den Neigungswinkel für eine der schrägen Dachkanten.

//Lösung//

Der Neigungswinkel ist der Winkel zwischen dem Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG}{{/formula}} und dem Erdboden, also der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene.

94

95

{{formula}}\overrightarrow{JG}=\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}

96

97

Es gibt zwei Möglichkeiten, den Winkel zwischen einem Vektor und einer Koordinatenebene zu ermitteln:

Option 1:

Man bildet den in die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Koordinatenebene projizierten Vektor (indem man die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate des Vektors Null setzt) und berechnet anschließend den Winkel zwischen dem ursprünglichen Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG}{{/formula}} und dem projizierten Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG_p}{{/formula}} mit Hilfe des (inversen) Kosinus (siehe Merkhilfe):

102

103

{{formula}}cos(\alpha)=\frac{\overrightarrow{JG}\cdot \overrightarrow{JG_p}}{|\overrightarrow{JG}|\cdot |\overrightarrow{JG_p}|}=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \Leftrightarrow \ \alpha\approx \cos^{-1}(0,8944) \approx 26,57^\circ{{/formula}}

Option 2:

Man berechnet den Winkel zwischen dem Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG}{{/formula}} und dem Normalenvektor der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene und zieht das Ergebnis anschließend von 90° ab.

108

109

Manchmal sieht man auch eine Formel für den Winkel zwischen Vektor (bzw. Gerade) und Ebene, in der der Sinus vorkommt. Der Sinus führt dazu, dass man anschließend nicht mehr von 90° subtrahieren muss.

110

111

112

=== Teilaufgabe d) ===

113

114

Ebene {{formula}}E{{/formula}}, in der das Sonnensegel liegt:

115

116

{{formula}}E: \vec{x}=\overrightarrow{OF}+r\cdot \overrightarrow{FG}+ s\cdot \overrightarrow{FS}=\left(\begin{matrix}5\\2\\2 \end{matrix}\right)+ r\cdot \left(\begin{matrix}-5\\0\\0 \end{matrix}\right)+ s\cdot \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right) \quad \ \ r,s\in \mathbb{R}{{/formula}}

117

118

{{formula}}2+2s=3 \ \Leftrightarrow \ s=0,5{{/formula}}

119

120

{{formula}}x_3=2-0,5\cdot 0,5=1,75<1,8 \ \text{(m)}{{/formula}} (d. h. der Baumstumpf muss gekürzt werden)

//Aufgabenstellung//

Untersuche, ob der Stumpf gekürzt werden muss, damit das Segel wie geplant gespannt werden kann.

//Lösung//

Es ist sinnvoll, zuerst eine Ebenengleichung der Ebene aufzustellen, in der das Sonnensegel liegt.

132

133

{{formula}}E: \vec{x}=\overrightarrow{OF}+r\cdot \overrightarrow{FG}+ s\cdot \overrightarrow{FS}=\left(\begin{matrix}5\\2\\2 \end{matrix}\right)+ r\cdot \left(\begin{matrix}-5\\0\\0 \end{matrix}\right)+ s\cdot \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right) \quad \ \ r,s\in \mathbb{R}{{/formula}}

134

135

Da der Baumstumpf im Punkte {{formula}}(3|3|0){{/formula}} steht, muss die {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate desjenigen Punktes, der auf der Ebene liegt und sich vertikal über dem Baumstumpf befindet, den Wert 3 haben.

136

137

Eingesetzt in die Ebenengleichung (zweite Zeile, {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente) ergibt sich:

138

{{formula}}2+2s=3 \ \Leftrightarrow \ s=0,5{{/formula}}

139

140

Mit diesem Wert für den Parameter {{formula}}s{{/formula}} lässt sich die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate des entsprechenden Punktes auf der Ebene berechnen. Setzt man {{formula}}s=0,5{{/formula}} in die Ebenengleichung ein, erhält man:

141

142

{{formula}}x_3=2-0,5\cdot 0,5=1,75{{/formula}}

143

144

Das bedeutet, dass das Sonnensegel am Ort des Baumstumpfes eine Höhe von 1,75 m hat, während der Baumstumpf selbst 1,8 m hoch ist. Folglich muss der Baumstumpf gekürzt werden.

=== Teilaufgabe e) ===

149

150

{{formula}}\overrightarrow{FS}= \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{FS}|=\sqrt{4+4+0,25}=\sqrt{8,25}{{/formula}}

151

152

{{formula}}\overrightarrow{GS}= \left(\begin{matrix}3\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{GS}|=\sqrt{9+4+0,25}=\sqrt{13,25}{{/formula}}

153

154

{{formula}}|\overrightarrow{FG}|=5{{/formula}}

//Aufgabenstellung//

Zeige, dass es sich bei dem Segel nicht um ein gleichschenkliges Dreieck handelt.

//Lösung//

Gleichschenklig bedeutet, dass mindestens zwei von drei Seiten gleichlang sind. Mit Hilfe der Beträge der Verbindungsvektoren der Eckpunkte können die Seitenlängen berechnet und verglichen werden.

166

167

{{formula}}\overrightarrow{FS}= \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{FS}|=\sqrt{4+4+0,25}=\sqrt{8,25}{{/formula}}

168

169

{{formula}}\overrightarrow{GS}= \left(\begin{matrix}3\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{GS}|=\sqrt{9+4+0,25}=\sqrt{13,25}{{/formula}}

170

171

{{formula}}|\overrightarrow{FG}|=5{{/formula}}

172

173

Da alle drei Seiten unterschiedlich lang sind, ist das Sonnensegel kein gleichschenkliges Dreieck.

174

175

176

=== Teilaufgabe f) ===

177

178

{{formula}}\overrightarrow{FP_k}=\left(\begin{matrix}-2\\k-2\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}

179

180

{{formula}}|\overrightarrow{FP_k}|=|\overrightarrow{GF}| \ \Leftrightarrow \ 5=\sqrt{4,25+(k-2)^2 }{{/formula}}

181

182

{{formula}}0=k^2-4k-16,75{{/formula}}

183

184

{{formula}}k_1\approx 6,56; \ k_2\approx-2,56{{/formula}}

185

186

D. h. für {{formula}}k_1{{/formula}} ist {{formula}}FGP_k{{/formula}} gleichschenklig.

187

188

Die Lösung {{formula}}k_2{{/formula}} ist aufgrund des Sachzusammenhangs irrelevant.

189

190

Alternativ: Ansatz {{formula}}|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx 5,97{{/formula}}.

//Aufgabenstellung//

Bestimme einen Wert für {{formula}}k{{/formula}}, so dass durch die Verschiebung der Pfostenspitze in den Punkt {{formula}}P_k(3|k|1,5){{/formula}} ein gleichschenkliges Dreieck {{formula}}FGP_k{{/formula}} entsteht.

//Lösung//

Die Länge der Seite {{formula}}FP_k{{/formula}} des neuen Dreiecks {{formula}}FGP_k{{/formula}} kann mit Hilfe des Betrags des Verbindungsvektors zwischen den Punkten {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}P_k{{/formula}} ermittelt werden.

202

203

{{formula}}\overrightarrow{FP_k}=\left(\begin{matrix}-2\\k-2\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}

204

205

Den Betrag dieses Verbindungsvektors kann man mit der Länge der Seite {{formula}}GF{{/formula}} gleichsetzen und die resultierende Gleichung nach {{formula}}k{{/formula}} auflösen.

\begin{align}

|\overrightarrow{FP_k}| & = |\overrightarrow{GF}| \\

211

\Leftrightarrow \quad & \sqrt{4,25+(k-2)^2 } = 5 \\

212

\Leftrightarrow \quad & 4,25+(k-2)^2 = 25 \\

213

\Leftrightarrow \quad & k^2-4k-16,75 = 0 \\

214

\Leftrightarrow \quad & k_1 \approx 6,56; \quad k_2 \approx -2,56

\end{align}

D. h. für {{formula}}k_1{{/formula}} ist {{formula}}FGP_k{{/formula}} gleichschenklig.

220

221

Die Lösung {{formula}}k_2{{/formula}} ist aufgrund des Sachzusammenhangs irrelevant, denn mit einer negativen {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate läge der Pfosten auf der falschen Seite des Glashauses.

222

223

Alternativ: Ansatz {{formula}}|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx5,97{{/formula}}.

224

225

226

=== Teilaufgabe g) ===

227

228

Mit dem Ansatz kann die {{formula}}x_1{{/formula}}-Koordinate des Punktes {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}, der von den beiden Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} denselben Abstand hat, bestimmt werden.

//Aufgabenstellung//

Zur Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} ergibt sich folgender Ansatz:

236

237

{{formula}}\left|\left(\begin{matrix}5-t\\ 2-4\\0-3 \end{matrix}\right)\right| =\left|\left(\begin{matrix}0-t\\ 2-4\\2-3 \end{matrix}\right)\right| {{/formula}}

238

239

Interpretiere diesen Ansatz.

//Lösung//

Man kann beide Seiten der Gleichung als Beträge von Verbindungsvektoren auffassen.

244

Die Spitze der Verbindungsvektoren ist identisch, nämlich {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}. Die Füsse der Verbindungsvektoren sind Punkte, die in der Aufgabe vorkommen.

245

Mit dem Ansatz kann also die {{formula}}x_1{{/formula}}-Koordinate des Punktes {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}, der von den beiden Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} denselben Abstand hat, bestimmt werden.

246

Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Hauptnavigation

Suchen

Zuletzt geändert

author	version	line-number	content
		1	=== Teilaufgabe a) ===
		2	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		3	[[image:B3.1Lösunga).png\|\|width="450" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
		4	{{/detail}}
		5
		6
		7	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		8	//Aufgabenstellung//
		9	<br><p>
		10	Zeichne das Gewächshaus in ein dreidimensionales Koordinatensystem, wenn die Eckpunkte {{formula}}A(5\|0\|0),B(5\|2\|0),C(0\|2\|0),F(5\|2\|2),G(0\|2\|2),I(5\|1\|2,5){{/formula}} und {{formula}}J(0\|1\|2,5){{/formula}} bekannt sind.
		11	</p>
		12	//Lösung//
		13	<br><p>
		14	Nachdem die gegebenen Punkte eingezeichnet sind, können die fehlenden Punkt {{formula}}D,E{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} durch Symmetrieüberlegungen oder mit Hilfe von Parallelverschiebungen ermittelt werden.
		15	</p>
		16	Beachte, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens die Länge 1 hat.
		17
		18	[[image:B3.1Lösunga).png\|\|width="450" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
		19	{{/detail}}
		20
		21	=== Teilaufgabe b) ===
		22	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		23	{{formula}}D(0\|0\|0),E(5\|0\|2),H(0\|0\|2){{/formula}}
		24	<br>
		25	{{formula}}A_{BCGF}=5\cdot 2=10{{/formula}}
		26	<br>
		27	{{formula}}A_{ABFE}=2\cdot 2=4{{/formula}}
		28	<br>
		29	{{formula}}A_{EFI}=\frac{1}{2}\cdot 0,5\cdot 2=0,5{{/formula}}
		30	<br>
		31	{{formula}}A_{FGJI}=5\cdot \sqrt{1^2+0,5^2}\approx 5,59 {{/formula}}
		32	<br>
		33	{{formula}}A =2\cdot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_{EFI}+A_{FGJI} )=2\cdot (10+4+0,5+5,59)=40,18{{/formula}}
		34	<br>
		35	{{formula}}40,18\cdot 10=401,8{{/formula}}
		36	<br>
		37	Das benötigte Glas wiegt {{formula}}401,8\text{kg}{{/formula}}.
		38	{{/detail}}
		39
		40
		41	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		42	//Aufgabenstellung//
		43	<br><p>
		44	Berechne das Gewicht des für das Gewächshaus benötigten Glases, wenn ein Quadratmeter Glas 10kg wiegt.
		45	</p>
		46	//Lösung//
		47	<br>
		48	Die fehlenden Punkte lauten {{formula}}D(0\|0\|0),E(5\|0\|2),H(0\|0\|2){{/formula}}.
		49	<br>
		50	Jede Form der Glasfläche kommt zweimal vor. Der Flächeninhalt der gesamten Glasfläche {{formula}}A{{/formula}} setzt sich zusammen aus:
		51	<br><p>
		52	{{formula}}A =2\cdot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_{EFI}+A_{FGJI}){{/formula}}
		53	</p>
		54	Die einzelnen Anteile sind entweder Rechtecke oder Dreiecke. Ihr jeweiliger Flächeninhalt kann mit den bekannten Formeln (siehe Merkhilfe) berechnet werden:
		55	<br>
		56	{{formula}}A_{BCGF}=5\cdot 2=10{{/formula}}
		57	<br>
		58	{{formula}}A_{ABFE}=2\cdot 2=4{{/formula}}
		59	<br>
		60	{{formula}}A_{EFI}=\frac{1}{2}\cdot 0,5\cdot 2=0,5{{/formula}}
		61	<br>
		62	Die Länge der Seite {{formula}}FI{{/formula}} kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden:
		63	<br><p>
		64	{{formula}}A_{FGJI}=5\cdot \sqrt{1^2+0,5^2}\approx 5,59 {{/formula}}
		65	</p>
		66	Als gesamter Flächeninhalt ergibt sich:
		67	<br>
		68	{{formula}}A =2\cdot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_{EFI}+A_{FGJI} )=2\cdot(10+4+0,5+5,59)=40,18{{/formula}}
		69	<br>
		70	Das ist der Flächeninhalt in Quadratmetern. Da jeder Quadratmeter 10 kg wiegt, ergibt sich für die gesamte benötigte Masse:
		71	<br>
		72	{{formula}}40,18\cdot 10=401,8{{/formula}}
		73	<br>
		74	Das benötigte Glas wiegt also {{formula}}401,8\text{kg}{{/formula}}.
		75
		76	{{/detail}}
		77
		78	=== Teilaufgabe c) ===
		79	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		80	{{formula}}\overrightarrow{JG}=\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
		81	<br>
		82	{{formula}}cos(\alpha)=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \ \alpha \approx 26,57^\circ{{/formula}}
		83	{{/detail}}
		84
		85
		86	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		87	//Aufgabenstellung//
		88	<br><p>
		89	Berechne den Neigungswinkel für eine der schrägen Dachkanten.
		90	</p>
		91	//Lösung//
		92	<br>
		93	Der Neigungswinkel ist der Winkel zwischen dem Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG}{{/formula}} und dem Erdboden, also der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene.
		94	<br>
		95	{{formula}}\overrightarrow{JG}=\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
		96	<br><p>
		97	Es gibt zwei Möglichkeiten, den Winkel zwischen einem Vektor und einer Koordinatenebene zu ermitteln:
		98	</p>
		99	Option 1:
		100	<br>
		101	Man bildet den in die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Koordinatenebene projizierten Vektor (indem man die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate des Vektors Null setzt) und berechnet anschließend den Winkel zwischen dem ursprünglichen Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG}{{/formula}} und dem projizierten Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG_p}{{/formula}} mit Hilfe des (inversen) Kosinus (siehe Merkhilfe):
		102	<br><p>
		103	{{formula}}cos(\alpha)=\frac{\overrightarrow{JG}\cdot \overrightarrow{JG_p}}{\|\overrightarrow{JG}\|\cdot \|\overrightarrow{JG_p}\|}=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \Leftrightarrow \ \alpha\approx \cos^{-1}(0,8944) \approx 26,57^\circ{{/formula}}
		104	</p>
		105	Option 2:
		106	<br>
		107	Man berechnet den Winkel zwischen dem Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG}{{/formula}} und dem Normalenvektor der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene und zieht das Ergebnis anschließend von 90° ab.
		108	<br>
		109	Manchmal sieht man auch eine Formel für den Winkel zwischen Vektor (bzw. Gerade) und Ebene, in der der Sinus vorkommt. Der Sinus führt dazu, dass man anschließend nicht mehr von 90° subtrahieren muss.
		110	{{/detail}}
		111
		112	=== Teilaufgabe d) ===
		113	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		114	Ebene {{formula}}E{{/formula}}, in der das Sonnensegel liegt:
		115	<br>
		116	{{formula}}E: \vec{x}=\overrightarrow{OF}+r\cdot \overrightarrow{FG}+ s\cdot \overrightarrow{FS}=\left(\begin{matrix}5\\2\\2 \end{matrix}\right)+ r\cdot \left(\begin{matrix}-5\\0\\0 \end{matrix}\right)+ s\cdot \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right) \quad \ \ r,s\in \mathbb{R}{{/formula}}
		117	<br>
		118	{{formula}}2+2s=3 \ \Leftrightarrow \ s=0,5{{/formula}}
		119	<br>
		120	{{formula}}x_3=2-0,5\cdot 0,5=1,75<1,8 \ \text{(m)}{{/formula}} (d. h. der Baumstumpf muss gekürzt werden)
		121	{{/detail}}
		122
		123
		124	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		125	//Aufgabenstellung//
		126	<br><p>
		127	Untersuche, ob der Stumpf gekürzt werden muss, damit das Segel wie geplant gespannt werden kann.
		128	</p>
		129	//Lösung//
		130	<br>
		131	Es ist sinnvoll, zuerst eine Ebenengleichung der Ebene aufzustellen, in der das Sonnensegel liegt.
		132	<br>
		133	{{formula}}E: \vec{x}=\overrightarrow{OF}+r\cdot \overrightarrow{FG}+ s\cdot \overrightarrow{FS}=\left(\begin{matrix}5\\2\\2 \end{matrix}\right)+ r\cdot \left(\begin{matrix}-5\\0\\0 \end{matrix}\right)+ s\cdot \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right) \quad \ \ r,s\in \mathbb{R}{{/formula}}
		134	<br>
		135	Da der Baumstumpf im Punkte {{formula}}(3\|3\|0){{/formula}} steht, muss die {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate desjenigen Punktes, der auf der Ebene liegt und sich vertikal über dem Baumstumpf befindet, den Wert 3 haben.
		136	<br>
		137	Eingesetzt in die Ebenengleichung (zweite Zeile, {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente) ergibt sich:
		138	{{formula}}2+2s=3 \ \Leftrightarrow \ s=0,5{{/formula}}
		139	<br>
		140	Mit diesem Wert für den Parameter {{formula}}s{{/formula}} lässt sich die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate des entsprechenden Punktes auf der Ebene berechnen. Setzt man {{formula}}s=0,5{{/formula}} in die Ebenengleichung ein, erhält man:
		141	<br>
		142	{{formula}}x_3=2-0,5\cdot 0,5=1,75{{/formula}}
		143	<br>
		144	Das bedeutet, dass das Sonnensegel am Ort des Baumstumpfes eine Höhe von 1,75 m hat, während der Baumstumpf selbst 1,8 m hoch ist. Folglich muss der Baumstumpf gekürzt werden.
		145
		146	{{/detail}}
		147
		148	=== Teilaufgabe e) ===
		149	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		150	{{formula}}\overrightarrow{FS}= \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ \|\overrightarrow{FS}\|=\sqrt{4+4+0,25}=\sqrt{8,25}{{/formula}}
		151	<br>
		152	{{formula}}\overrightarrow{GS}= \left(\begin{matrix}3\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ \|\overrightarrow{GS}\|=\sqrt{9+4+0,25}=\sqrt{13,25}{{/formula}}
		153	<br>
		154	{{formula}}\|\overrightarrow{FG}\|=5{{/formula}}
		155	{{/detail}}
		156
		157
		158	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		159	//Aufgabenstellung//
		160	<br><p>
		161	Zeige, dass es sich bei dem Segel nicht um ein gleichschenkliges Dreieck handelt.
		162	</p>
		163	//Lösung//
		164	<br>
		165	Gleichschenklig bedeutet, dass mindestens zwei von drei Seiten gleichlang sind. Mit Hilfe der Beträge der Verbindungsvektoren der Eckpunkte können die Seitenlängen berechnet und verglichen werden.
		166	<br>
		167	{{formula}}\overrightarrow{FS}= \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ \|\overrightarrow{FS}\|=\sqrt{4+4+0,25}=\sqrt{8,25}{{/formula}}
		168	<br>
		169	{{formula}}\overrightarrow{GS}= \left(\begin{matrix}3\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ \|\overrightarrow{GS}\|=\sqrt{9+4+0,25}=\sqrt{13,25}{{/formula}}
		170	<br>
		171	{{formula}}\|\overrightarrow{FG}\|=5{{/formula}}
		172	<br>
		173	Da alle drei Seiten unterschiedlich lang sind, ist das Sonnensegel kein gleichschenkliges Dreieck.
		174	{{/detail}}
		175
		176	=== Teilaufgabe f) ===
		177	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		178	{{formula}}\overrightarrow{FP_k}=\left(\begin{matrix}-2\\k-2\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
		179	<br>
		180	{{formula}}\|\overrightarrow{FP_k}\|=\|\overrightarrow{GF}\| \ \Leftrightarrow \ 5=\sqrt{4,25+(k-2)^2 }{{/formula}}
		181	<br>
		182	{{formula}}0=k^2-4k-16,75{{/formula}}
		183	<br>
		184	{{formula}}k_1\approx 6,56; \ k_2\approx-2,56{{/formula}}
		185	<br>
		186	D. h. für {{formula}}k_1{{/formula}} ist {{formula}}FGP_k{{/formula}} gleichschenklig.
		187	<br><p>
		188	Die Lösung {{formula}}k_2{{/formula}} ist aufgrund des Sachzusammenhangs irrelevant.
		189	</p>
		190	Alternativ: Ansatz {{formula}}\|\overrightarrow{GP_k}\|=\|\overrightarrow{GF}\|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx 5,97{{/formula}}.
		191	{{/detail}}
		192
		193
		194	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		195	//Aufgabenstellung//
		196	<br><p>
		197	Bestimme einen Wert für {{formula}}k{{/formula}}, so dass durch die Verschiebung der Pfostenspitze in den Punkt {{formula}}P_k(3\|k\|1,5){{/formula}} ein gleichschenkliges Dreieck {{formula}}FGP_k{{/formula}} entsteht.
		198	</p>
		199	//Lösung//
		200	<br>
		201	Die Länge der Seite {{formula}}FP_k{{/formula}} des neuen Dreiecks {{formula}}FGP_k{{/formula}} kann mit Hilfe des Betrags des Verbindungsvektors zwischen den Punkten {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}P_k{{/formula}} ermittelt werden.
		202	<br>
		203	{{formula}}\overrightarrow{FP_k}=\left(\begin{matrix}-2\\k-2\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
		204	<br>
		205	Den Betrag dieses Verbindungsvektors kann man mit der Länge der Seite {{formula}}GF{{/formula}} gleichsetzen und die resultierende Gleichung nach {{formula}}k{{/formula}} auflösen.
		206	<br>
		207
		208	{{formula}}
		209	\begin{align}
		210	\|\overrightarrow{FP_k}\| & = \|\overrightarrow{GF}\| \\
		211	\Leftrightarrow \quad & \sqrt{4,25+(k-2)^2 } = 5 \\
		212	\Leftrightarrow \quad & 4,25+(k-2)^2 = 25 \\
		213	\Leftrightarrow \quad & k^2-4k-16,75 = 0 \\
		214	\Leftrightarrow \quad & k_1 \approx 6,56; \quad k_2 \approx -2,56
		215	\end{align}
		216	{{/formula}}
		217
		218	<br>
		219	D. h. für {{formula}}k_1{{/formula}} ist {{formula}}FGP_k{{/formula}} gleichschenklig.
		220	<br><p>
		221	Die Lösung {{formula}}k_2{{/formula}} ist aufgrund des Sachzusammenhangs irrelevant, denn mit einer negativen {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate läge der Pfosten auf der falschen Seite des Glashauses.
		222	</p>
		223	Alternativ: Ansatz {{formula}}\|\overrightarrow{GP_k}\|=\|\overrightarrow{GF}\|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx5,97{{/formula}}.
		224	{{/detail}}
		225
		226	=== Teilaufgabe g) ===
		227	{{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
		228	Mit dem Ansatz kann die {{formula}}x_1{{/formula}}-Koordinate des Punktes {{formula}}T(t\|4\|3){{/formula}}, der von den beiden Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} denselben Abstand hat, bestimmt werden.
		229	{{/detail}}
		230
		231
		232	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
		233	//Aufgabenstellung//
		234	<br>
		235	Zur Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} ergibt sich folgender Ansatz:
		236	<br>
		237	{{formula}}\left\|\left(\begin{matrix}5-t\\ 2-4\\0-3 \end{matrix}\right)\right\| =\left\|\left(\begin{matrix}0-t\\ 2-4\\2-3 \end{matrix}\right)\right\| {{/formula}}
		238	<br><p>
		239	Interpretiere diesen Ansatz.
		240	</p>
		241	//Lösung//
		242	<br>
		243	Man kann beide Seiten der Gleichung als Beträge von Verbindungsvektoren auffassen.
		244	Die Spitze der Verbindungsvektoren ist identisch, nämlich {{formula}}T(t\|4\|3){{/formula}}. Die Füsse der Verbindungsvektoren sind Punkte, die in der Aufgabe vorkommen.
		245	Mit dem Ansatz kann also die {{formula}}x_1{{/formula}}-Koordinate des Punktes {{formula}}T(t\|4\|3){{/formula}}, der von den beiden Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} denselben Abstand hat, bestimmt werden.
		246	{{/detail}}

unfertig	fertig
● ● ● ● ● ● ●