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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Version 12.1 von Marcel Haidle am 2026/02/25 21:18
Verstecke letzte Bearbeiter
Anna Kukin 1.1 1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
Anna Kukin 7.1 3 [[image:B3.1Lösunga).png||width="450" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
Anna Kukin 1.1 4 {{/detail}}
5
6
Anna Kukin 8.1 7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
Anna Kukin 9.1 8 //Aufgabenstellung//
9 <br><p>
10 Zeichne das Gewächshaus in ein dreidimensionales Koordinatensystem, wenn die Eckpunkte {{formula}}A(5|0|0),B(5|2|0),C(0|2|0),F(5|2|2),G(0|2|2),I(5|1|2,5){{/formula}} und {{formula}}J(0|1|2,5){{/formula}} bekannt sind.
11 </p>
12 //Lösung//
13 <br><p>
Anna Kukin 8.1 14 Nachdem die gegebenen Punkte eingezeichnet sind, können die fehlenden Punkt {{formula}}D,E{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} durch Symmetrieüberlegungen oder mit Hilfe von Parallelverschiebungen ermittelt werden.
15 </p>
16 Beachte, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens die Länge 1 hat.
17
18 [[image:B3.1Lösunga).png||width="450" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
19 {{/detail}}
20
Anna Kukin 1.1 21 === Teilaufgabe b) ===
22 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
23 {{formula}}D(0|0|0),E(5|0|2),H(0|0|2){{/formula}}
24 <br>
25 {{formula}}A_{BCGF}=5\cdot 2=10{{/formula}}
26 <br>
27 {{formula}}A_{ABFE}=2\cdot 2=4{{/formula}}
28 <br>
Anna Kukin 7.1 29 {{formula}}A_{EFI}=\frac{1}{2}\cdot 0,5\cdot 2=0,5{{/formula}}
Anna Kukin 1.1 30 <br>
31 {{formula}}A_{FGJI}=5\cdot \sqrt{1^2+0,5^2}\approx 5,59 {{/formula}}
32 <br>
33 {{formula}}A =2\cdot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_{EFI}+A_{FGJI} )=2\cdot (10+4+0,5+5,59)=40,18{{/formula}}
34 <br>
35 {{formula}}40,18\cdot 10=401,8{{/formula}}
36 <br>
37 Das benötigte Glas wiegt {{formula}}401,8\text{kg}{{/formula}}.
38 {{/detail}}
39
Anna Kukin 8.1 40
41 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
Anna Kukin 9.1 42 //Aufgabenstellung//
Anna Kukin 8.1 43 <br><p>
44 Berechne das Gewicht des für das Gewächshaus benötigten Glases, wenn ein Quadratmeter Glas 10kg wiegt.
45 </p>
Anna Kukin 9.1 46 //Lösung//
Anna Kukin 8.1 47 <br>
48 Die fehlenden Punkte lauten {{formula}}D(0|0|0),E(5|0|2),H(0|0|2){{/formula}}.
49 <br>
50 Jede Form der Glasfläche kommt zweimal vor. Der Flächeninhalt der gesamten Glasfläche {{formula}}A{{/formula}} setzt sich zusammen aus:
51 <br><p>
Anna Kukin 9.1 52 {{formula}}A =2\cdot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_{EFI}+A_{FGJI}){{/formula}}
Anna Kukin 8.1 53 </p>
54 Die einzelnen Anteile sind entweder Rechtecke oder Dreiecke. Ihr jeweiliger Flächeninhalt kann mit den bekannten Formeln (siehe Merkhilfe) berechnet werden:
55 <br>
56 {{formula}}A_{BCGF}=5\cdot 2=10{{/formula}}
57 <br>
58 {{formula}}A_{ABFE}=2\cdot 2=4{{/formula}}
59 <br>
60 {{formula}}A_{EFI}=\frac{1}{2}\cdot 0,5\cdot 2=0,5{{/formula}}
61 <br>
Anna Kukin 9.1 62 Die Länge der Seite {{formula}}FI{{/formula}} kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden:
Anna Kukin 8.1 63 <br><p>
64 {{formula}}A_{FGJI}=5\cdot \sqrt{1^2+0,5^2}\approx 5,59 {{/formula}}
65 </p>
66 Als gesamter Flächeninhalt ergibt sich:
67 <br>
Anna Kukin 9.1 68 {{formula}}A =2\cdot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_{EFI}+A_{FGJI} )=2\cdot(10+4+0,5+5,59)=40,18{{/formula}}
69 <br>
Anna Kukin 8.1 70 Das ist der Flächeninhalt in Quadratmetern. Da jeder Quadratmeter 10 kg wiegt, ergibt sich für die gesamte benötigte Masse:
71 <br>
72 {{formula}}40,18\cdot 10=401,8{{/formula}}
73 <br>
74 Das benötigte Glas wiegt also {{formula}}401,8\text{kg}{{/formula}}.
75
76 {{/detail}}
77
Anna Kukin 1.1 78 === Teilaufgabe c) ===
79 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
80 {{formula}}\overrightarrow{JG}=\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
81 <br>
Anna Kukin 11.2 82 {{formula}}\cos(\alpha)=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \ \alpha \approx 26,57^\circ{{/formula}}
Anna Kukin 1.1 83 {{/detail}}
84
Anna Kukin 8.1 85
86 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
Anna Kukin 9.1 87 //Aufgabenstellung//
Anna Kukin 8.1 88 <br><p>
89 Berechne den Neigungswinkel für eine der schrägen Dachkanten.
90 </p>
Anna Kukin 9.1 91 //Lösung//
Anna Kukin 8.1 92 <br>
Anna Kukin 9.1 93 Der Neigungswinkel ist der Winkel zwischen dem Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG}{{/formula}} und dem Erdboden, also der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene.
94 <br>
95 {{formula}}\overrightarrow{JG}=\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
Anna Kukin 8.1 96 <br><p>
97 Es gibt zwei Möglichkeiten, den Winkel zwischen einem Vektor und einer Koordinatenebene zu ermitteln:
98 </p>
99 Option 1:
100 <br>
Anna Kukin 9.1 101 Man bildet den in die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Koordinatenebene projizierten Vektor (indem man die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate des Vektors Null setzt) und berechnet anschließend den Winkel zwischen dem ursprünglichen Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG}{{/formula}} und dem projizierten Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG_p}{{/formula}} mit Hilfe des (inversen) Kosinus (siehe Merkhilfe):
Anna Kukin 8.1 102 <br><p>
Anna Kukin 11.2 103 {{formula}}\cos(\alpha)=\frac{\overrightarrow{JG}\cdot \overrightarrow{JG_p}}{|\overrightarrow{JG}|\cdot |\overrightarrow{JG_p}|}=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \Leftrightarrow \ \alpha\approx \cos^{-1}(0,8944) \approx 26,57^\circ{{/formula}}
Anna Kukin 8.1 104 </p>
105 Option 2:
106 <br>
Anna Kukin 9.1 107 Man berechnet den Winkel zwischen dem Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG}{{/formula}} und dem Normalenvektor der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene und zieht das Ergebnis anschließend von 90° ab.
Anna Kukin 8.1 108 <br>
109 Manchmal sieht man auch eine Formel für den Winkel zwischen Vektor (bzw. Gerade) und Ebene, in der der Sinus vorkommt. Der Sinus führt dazu, dass man anschließend nicht mehr von 90° subtrahieren muss.
110 {{/detail}}
111
Anna Kukin 1.1 112 === Teilaufgabe d) ===
113 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
114 Ebene {{formula}}E{{/formula}}, in der das Sonnensegel liegt:
115 <br>
Anna Kukin 7.1 116 {{formula}}E: \vec{x}=\overrightarrow{OF}+r\cdot \overrightarrow{FG}+ s\cdot \overrightarrow{FS}=\left(\begin{matrix}5\\2\\2 \end{matrix}\right)+ r\cdot \left(\begin{matrix}-5\\0\\0 \end{matrix}\right)+ s\cdot \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right) \quad \ \ r,s\in \mathbb{R}{{/formula}}
Anna Kukin 1.1 117 <br>
118 {{formula}}2+2s=3 \ \Leftrightarrow \ s=0,5{{/formula}}
Anna Kukin 7.1 119 <br>
120 {{formula}}x_3=2-0,5\cdot 0,5=1,75<1,8 \ \text{(m)}{{/formula}} (d. h. der Baumstumpf muss gekürzt werden)
Anna Kukin 1.1 121 {{/detail}}
122
Anna Kukin 8.1 123
124 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
Anna Kukin 9.1 125 //Aufgabenstellung//
Anna Kukin 8.1 126 <br><p>
127 Untersuche, ob der Stumpf gekürzt werden muss, damit das Segel wie geplant gespannt werden kann.
128 </p>
Anna Kukin 9.1 129 //Lösung//
Anna Kukin 8.1 130 <br>
131 Es ist sinnvoll, zuerst eine Ebenengleichung der Ebene aufzustellen, in der das Sonnensegel liegt.
132 <br>
133 {{formula}}E: \vec{x}=\overrightarrow{OF}+r\cdot \overrightarrow{FG}+ s\cdot \overrightarrow{FS}=\left(\begin{matrix}5\\2\\2 \end{matrix}\right)+ r\cdot \left(\begin{matrix}-5\\0\\0 \end{matrix}\right)+ s\cdot \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right) \quad \ \ r,s\in \mathbb{R}{{/formula}}
134 <br>
Anna Kukin 10.2 135 Da der Baumstumpf im Punkt {{formula}}(3|3|0){{/formula}} steht, muss die {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate desjenigen Punktes, der auf der Ebene liegt und sich vertikal über dem Baumstumpf befindet, den Wert 3 haben.
Anna Kukin 8.1 136 <br>
137 Eingesetzt in die Ebenengleichung (zweite Zeile, {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente) ergibt sich:
Anna Kukin 10.2 138 <br>
Anna Kukin 8.1 139 {{formula}}2+2s=3 \ \Leftrightarrow \ s=0,5{{/formula}}
140 <br>
141 Mit diesem Wert für den Parameter {{formula}}s{{/formula}} lässt sich die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate des entsprechenden Punktes auf der Ebene berechnen. Setzt man {{formula}}s=0,5{{/formula}} in die Ebenengleichung ein, erhält man:
142 <br>
143 {{formula}}x_3=2-0,5\cdot 0,5=1,75{{/formula}}
144 <br>
Anna Kukin 10.2 145 Das bedeutet, dass das Sonnensegel am Ort des Baumstumpfes eine Höhe von 1,75m hat, während der Baumstumpf selbst 1,8m hoch ist. Folglich muss der Baumstumpf gekürzt werden.
Anna Kukin 8.1 146
147 {{/detail}}
148
Anna Kukin 1.1 149 === Teilaufgabe e) ===
150 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
Anna Kukin 7.2 151 {{formula}}\overrightarrow{FS}= \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{FS}|=\sqrt{4+4+0,25}=\sqrt{8,25}{{/formula}}
Anna Kukin 1.1 152 <br>
Anna Kukin 7.2 153 {{formula}}\overrightarrow{GS}= \left(\begin{matrix}3\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{GS}|=\sqrt{9+4+0,25}=\sqrt{13,25}{{/formula}}
Anna Kukin 1.1 154 <br>
155 {{formula}}|\overrightarrow{FG}|=5{{/formula}}
156 {{/detail}}
157
Anna Kukin 10.1 158
159 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
160 //Aufgabenstellung//
161 <br><p>
162 Zeige, dass es sich bei dem Segel nicht um ein gleichschenkliges Dreieck handelt.
163 </p>
164 //Lösung//
165 <br>
166 Gleichschenklig bedeutet, dass mindestens zwei von drei Seiten gleichlang sind. Mit Hilfe der Beträge der Verbindungsvektoren der Eckpunkte können die Seitenlängen berechnet und verglichen werden.
167 <br>
168 {{formula}}\overrightarrow{FS}= \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{FS}|=\sqrt{4+4+0,25}=\sqrt{8,25}{{/formula}}
169 <br>
170 {{formula}}\overrightarrow{GS}= \left(\begin{matrix}3\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{GS}|=\sqrt{9+4+0,25}=\sqrt{13,25}{{/formula}}
171 <br>
172 {{formula}}|\overrightarrow{FG}|=5{{/formula}}
173 <br>
174 Da alle drei Seiten unterschiedlich lang sind, ist das Sonnensegel kein gleichschenkliges Dreieck.
175 {{/detail}}
176
Anna Kukin 1.1 177 === Teilaufgabe f) ===
178 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
179 {{formula}}\overrightarrow{FP_k}=\left(\begin{matrix}-2\\k-2\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
180 <br>
181 {{formula}}|\overrightarrow{FP_k}|=|\overrightarrow{GF}| \ \Leftrightarrow \ 5=\sqrt{4,25+(k-2)^2 }{{/formula}}
182 <br>
183 {{formula}}0=k^2-4k-16,75{{/formula}}
184 <br>
185 {{formula}}k_1\approx 6,56; \ k_2\approx-2,56{{/formula}}
186 <br>
187 D. h. für {{formula}}k_1{{/formula}} ist {{formula}}FGP_k{{/formula}} gleichschenklig.
188 <br><p>
189 Die Lösung {{formula}}k_2{{/formula}} ist aufgrund des Sachzusammenhangs irrelevant.
190 </p>
Anna Kukin 10.1 191 Alternativ: Ansatz {{formula}}|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx 5,97{{/formula}}.
Anna Kukin 1.1 192 {{/detail}}
193
Anna Kukin 10.1 194
195 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
196 //Aufgabenstellung//
197 <br><p>
198 Bestimme einen Wert für {{formula}}k{{/formula}}, so dass durch die Verschiebung der Pfostenspitze in den Punkt {{formula}}P_k(3|k|1,5){{/formula}} ein gleichschenkliges Dreieck {{formula}}FGP_k{{/formula}} entsteht.
199 </p>
200 //Lösung//
201 <br>
202 Die Länge der Seite {{formula}}FP_k{{/formula}} des neuen Dreiecks {{formula}}FGP_k{{/formula}} kann mit Hilfe des Betrags des Verbindungsvektors zwischen den Punkten {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}P_k{{/formula}} ermittelt werden.
203 <br>
204 {{formula}}\overrightarrow{FP_k}=\left(\begin{matrix}-2\\k-2\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
205 <br>
206 Den Betrag dieses Verbindungsvektors kann man mit der Länge der Seite {{formula}}GF{{/formula}} gleichsetzen und die resultierende Gleichung nach {{formula}}k{{/formula}} auflösen.
207 <br>
208
209 {{formula}}
Anna Kukin 11.1 210 \begin{align*}
Anna Kukin 10.1 211 |\overrightarrow{FP_k}| & = |\overrightarrow{GF}| \\
212 \Leftrightarrow \quad & \sqrt{4,25+(k-2)^2 } = 5 \\
213 \Leftrightarrow \quad & 4,25+(k-2)^2 = 25 \\
214 \Leftrightarrow \quad & k^2-4k-16,75 = 0 \\
215 \Leftrightarrow \quad & k_1 \approx 6,56; \quad k_2 \approx -2,56
Anna Kukin 11.1 216 \end{align*}
Anna Kukin 10.1 217 {{/formula}}
218
219 D. h. für {{formula}}k_1{{/formula}} ist {{formula}}FGP_k{{/formula}} gleichschenklig.
220 <br><p>
221 Die Lösung {{formula}}k_2{{/formula}} ist aufgrund des Sachzusammenhangs irrelevant, denn mit einer negativen {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate läge der Pfosten auf der falschen Seite des Glashauses.
222 </p>
223 Alternativ: Ansatz {{formula}}|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx5,97{{/formula}}.
224 {{/detail}}
225
Anna Kukin 1.1 226 === Teilaufgabe g) ===
227 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
228 Mit dem Ansatz kann die {{formula}}x_1{{/formula}}-Koordinate des Punktes {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}, der von den beiden Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} denselben Abstand hat, bestimmt werden.
229 {{/detail}}
Anna Kukin 10.1 230
231
232 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
233 //Aufgabenstellung//
234 <br>
235 Zur Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} ergibt sich folgender Ansatz:
236 <br>
237 {{formula}}\left|\left(\begin{matrix}5-t\\ 2-4\\0-3 \end{matrix}\right)\right| =\left|\left(\begin{matrix}0-t\\ 2-4\\2-3 \end{matrix}\right)\right| {{/formula}}
238 <br><p>
239 Interpretiere diesen Ansatz.
240 </p>
241 //Lösung//
242 <br>
243 Man kann beide Seiten der Gleichung als Beträge von Verbindungsvektoren auffassen.
244 Die Spitze der Verbindungsvektoren ist identisch, nämlich {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}. Die Füsse der Verbindungsvektoren sind Punkte, die in der Aufgabe vorkommen.
245 Mit dem Ansatz kann also die {{formula}}x_1{{/formula}}-Koordinate des Punktes {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}, der von den beiden Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} denselben Abstand hat, bestimmt werden.
246 {{/detail}}
247