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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Version 13.2 von Marcel Haidle am 2026/02/25 21:23
Verstecke letzte Bearbeiter
akukin 1.1 1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
akukin 7.1 3 [[image:B3.1Lösunga).png||width="450" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
akukin 1.1 4 {{/detail}}
5
6
akukin 8.1 7 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 9.1 8 //Aufgabenstellung//
9 <br><p>
10 Zeichne das Gewächshaus in ein dreidimensionales Koordinatensystem, wenn die Eckpunkte {{formula}}A(5|0|0),B(5|2|0),C(0|2|0),F(5|2|2),G(0|2|2),I(5|1|2,5){{/formula}} und {{formula}}J(0|1|2,5){{/formula}} bekannt sind.
11 </p>
12 //Lösung//
13 <br><p>
akukin 8.1 14 Nachdem die gegebenen Punkte eingezeichnet sind, können die fehlenden Punkt {{formula}}D,E{{/formula}} und {{formula}}H{{/formula}} durch Symmetrieüberlegungen oder mit Hilfe von Parallelverschiebungen ermittelt werden.
15 </p>
16 Beachte, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens die Länge 1 hat.
17
18 [[image:B3.1Lösunga).png||width="450" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
19 {{/detail}}
20
akukin 1.1 21 === Teilaufgabe b) ===
22 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
23 {{formula}}D(0|0|0),E(5|0|2),H(0|0|2){{/formula}}
24 <br>
25 {{formula}}A_{BCGF}=5\cdot 2=10{{/formula}}
26 <br>
27 {{formula}}A_{ABFE}=2\cdot 2=4{{/formula}}
28 <br>
akukin 7.1 29 {{formula}}A_{EFI}=\frac{1}{2}\cdot 0,5\cdot 2=0,5{{/formula}}
akukin 1.1 30 <br>
31 {{formula}}A_{FGJI}=5\cdot \sqrt{1^2+0,5^2}\approx 5,59 {{/formula}}
32 <br>
33 {{formula}}A =2\cdot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_{EFI}+A_{FGJI} )=2\cdot (10+4+0,5+5,59)=40,18{{/formula}}
34 <br>
35 {{formula}}40,18\cdot 10=401,8{{/formula}}
36 <br>
37 Das benötigte Glas wiegt {{formula}}401,8\text{kg}{{/formula}}.
38 {{/detail}}
39
akukin 8.1 40
41 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 9.1 42 //Aufgabenstellung//
akukin 8.1 43 <br><p>
44 Berechne das Gewicht des für das Gewächshaus benötigten Glases, wenn ein Quadratmeter Glas 10kg wiegt.
45 </p>
akukin 9.1 46 //Lösung//
akukin 8.1 47 <br>
48 Die fehlenden Punkte lauten {{formula}}D(0|0|0),E(5|0|2),H(0|0|2){{/formula}}.
49 <br>
50 Jede Form der Glasfläche kommt zweimal vor. Der Flächeninhalt der gesamten Glasfläche {{formula}}A{{/formula}} setzt sich zusammen aus:
51 <br><p>
akukin 9.1 52 {{formula}}A =2\cdot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_{EFI}+A_{FGJI}){{/formula}}
akukin 8.1 53 </p>
54 Die einzelnen Anteile sind entweder Rechtecke oder Dreiecke. Ihr jeweiliger Flächeninhalt kann mit den bekannten Formeln (siehe Merkhilfe) berechnet werden:
55 <br>
56 {{formula}}A_{BCGF}=5\cdot 2=10{{/formula}}
57 <br>
58 {{formula}}A_{ABFE}=2\cdot 2=4{{/formula}}
59 <br>
60 {{formula}}A_{EFI}=\frac{1}{2}\cdot 0,5\cdot 2=0,5{{/formula}}
61 <br>
akukin 9.1 62 Die Länge der Seite {{formula}}FI{{/formula}} kann mit Hilfe des Satzes des Pythagoras berechnet werden:
akukin 8.1 63 <br><p>
64 {{formula}}A_{FGJI}=5\cdot \sqrt{1^2+0,5^2}\approx 5,59 {{/formula}}
65 </p>
66 Als gesamter Flächeninhalt ergibt sich:
67 <br>
akukin 9.1 68 {{formula}}A =2\cdot (A_{BCGF}+A_{ABFE}+A_{EFI}+A_{FGJI} )=2\cdot(10+4+0,5+5,59)=40,18{{/formula}}
69 <br>
akukin 8.1 70 Das ist der Flächeninhalt in Quadratmetern. Da jeder Quadratmeter 10 kg wiegt, ergibt sich für die gesamte benötigte Masse:
71 <br>
72 {{formula}}40,18\cdot 10=401,8{{/formula}}
73 <br>
74 Das benötigte Glas wiegt also {{formula}}401,8\text{kg}{{/formula}}.
75
76 {{/detail}}
77
akukin 1.1 78 === Teilaufgabe c) ===
79 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
80 {{formula}}\overrightarrow{JG}=\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
81 <br>
akukin 11.2 82 {{formula}}\cos(\alpha)=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \ \alpha \approx 26,57^\circ{{/formula}}
akukin 1.1 83 {{/detail}}
84
akukin 8.1 85
86 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 9.1 87 //Aufgabenstellung//
akukin 8.1 88 <br><p>
89 Berechne den Neigungswinkel für eine der schrägen Dachkanten.
90 </p>
akukin 9.1 91 //Lösung//
akukin 8.1 92 <br>
akukin 9.1 93 Der Neigungswinkel ist der Winkel zwischen dem Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG}{{/formula}} und dem Erdboden, also der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene.
94 <br>
95 {{formula}}\overrightarrow{JG}=\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
akukin 8.1 96 <br><p>
97 Es gibt zwei Möglichkeiten, den Winkel zwischen einem Vektor und einer Koordinatenebene zu ermitteln:
98 </p>
99 Option 1:
100 <br>
akukin 9.1 101 Man bildet den in die {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Koordinatenebene projizierten Vektor (indem man die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate des Vektors Null setzt) und berechnet anschließend den Winkel zwischen dem ursprünglichen Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG}{{/formula}} und dem projizierten Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG_p}{{/formula}} mit Hilfe des (inversen) Kosinus (siehe Merkhilfe):
akukin 8.1 102 <br><p>
akukin 11.2 103 {{formula}}\cos(\alpha)=\frac{\overrightarrow{JG}\cdot \overrightarrow{JG_p}}{|\overrightarrow{JG}|\cdot |\overrightarrow{JG_p}|}=\frac{\left(\begin{matrix}0\\1\\-0,5 \end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}0\\1\\0 \end{matrix}\right)}{\sqrt{1^2+(-0,5)^2}\cdot \sqrt{1^2}}=\frac{1}{\sqrt{1,25}} \approx 0,8944 \quad \ \Leftrightarrow \ \alpha\approx \cos^{-1}(0,8944) \approx 26,57^\circ{{/formula}}
akukin 8.1 104 </p>
105 Option 2:
106 <br>
akukin 9.1 107 Man berechnet den Winkel zwischen dem Vektor {{formula}}\overrightarrow{JG}{{/formula}} und dem Normalenvektor der {{formula}}x_1x_2{{/formula}}-Ebene und zieht das Ergebnis anschließend von 90° ab.
akukin 8.1 108 <br>
109 Manchmal sieht man auch eine Formel für den Winkel zwischen Vektor (bzw. Gerade) und Ebene, in der der Sinus vorkommt. Der Sinus führt dazu, dass man anschließend nicht mehr von 90° subtrahieren muss.
110 {{/detail}}
111
akukin 1.1 112 === Teilaufgabe d) ===
113 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
114 Ebene {{formula}}E{{/formula}}, in der das Sonnensegel liegt:
115 <br>
akukin 7.1 116 {{formula}}E: \vec{x}=\overrightarrow{OF}+r\cdot \overrightarrow{FG}+ s\cdot \overrightarrow{FS}=\left(\begin{matrix}5\\2\\2 \end{matrix}\right)+ r\cdot \left(\begin{matrix}-5\\0\\0 \end{matrix}\right)+ s\cdot \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right) \quad \ \ r,s\in \mathbb{R}{{/formula}}
akukin 1.1 117 <br>
118 {{formula}}2+2s=3 \ \Leftrightarrow \ s=0,5{{/formula}}
akukin 7.1 119 <br>
120 {{formula}}x_3=2-0,5\cdot 0,5=1,75<1,8 \ \text{(m)}{{/formula}} (d. h. der Baumstumpf muss gekürzt werden)
akukin 1.1 121 {{/detail}}
122
akukin 8.1 123
124 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 9.1 125 //Aufgabenstellung//
akukin 8.1 126 <br><p>
127 Untersuche, ob der Stumpf gekürzt werden muss, damit das Segel wie geplant gespannt werden kann.
128 </p>
akukin 9.1 129 //Lösung//
Marcel Haidle 13.2 130 [[image:Skizze-Teilaufgabe-d.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
akukin 8.1 131 <br>
132 Es ist sinnvoll, zuerst eine Ebenengleichung der Ebene aufzustellen, in der das Sonnensegel liegt.
133 <br>
134 {{formula}}E: \vec{x}=\overrightarrow{OF}+r\cdot \overrightarrow{FG}+ s\cdot \overrightarrow{FS}=\left(\begin{matrix}5\\2\\2 \end{matrix}\right)+ r\cdot \left(\begin{matrix}-5\\0\\0 \end{matrix}\right)+ s\cdot \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right) \quad \ \ r,s\in \mathbb{R}{{/formula}}
135 <br>
akukin 10.2 136 Da der Baumstumpf im Punkt {{formula}}(3|3|0){{/formula}} steht, muss die {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate desjenigen Punktes, der auf der Ebene liegt und sich vertikal über dem Baumstumpf befindet, den Wert 3 haben.
akukin 8.1 137 <br>
138 Eingesetzt in die Ebenengleichung (zweite Zeile, {{formula}}x_2{{/formula}}-Komponente) ergibt sich:
akukin 10.2 139 <br>
akukin 8.1 140 {{formula}}2+2s=3 \ \Leftrightarrow \ s=0,5{{/formula}}
141 <br>
142 Mit diesem Wert für den Parameter {{formula}}s{{/formula}} lässt sich die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate des entsprechenden Punktes auf der Ebene berechnen. Setzt man {{formula}}s=0,5{{/formula}} in die Ebenengleichung ein, erhält man:
143 <br>
144 {{formula}}x_3=2-0,5\cdot 0,5=1,75{{/formula}}
145 <br>
akukin 10.2 146 Das bedeutet, dass das Sonnensegel am Ort des Baumstumpfes eine Höhe von 1,75m hat, während der Baumstumpf selbst 1,8m hoch ist. Folglich muss der Baumstumpf gekürzt werden.
akukin 8.1 147
148 {{/detail}}
149
akukin 1.1 150 === Teilaufgabe e) ===
151 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
akukin 7.2 152 {{formula}}\overrightarrow{FS}= \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{FS}|=\sqrt{4+4+0,25}=\sqrt{8,25}{{/formula}}
akukin 1.1 153 <br>
akukin 7.2 154 {{formula}}\overrightarrow{GS}= \left(\begin{matrix}3\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{GS}|=\sqrt{9+4+0,25}=\sqrt{13,25}{{/formula}}
akukin 1.1 155 <br>
156 {{formula}}|\overrightarrow{FG}|=5{{/formula}}
157 {{/detail}}
158
akukin 10.1 159
160 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
161 //Aufgabenstellung//
162 <br><p>
163 Zeige, dass es sich bei dem Segel nicht um ein gleichschenkliges Dreieck handelt.
164 </p>
165 //Lösung//
166 <br>
167 Gleichschenklig bedeutet, dass mindestens zwei von drei Seiten gleichlang sind. Mit Hilfe der Beträge der Verbindungsvektoren der Eckpunkte können die Seitenlängen berechnet und verglichen werden.
168 <br>
169 {{formula}}\overrightarrow{FS}= \left(\begin{matrix}-2\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{FS}|=\sqrt{4+4+0,25}=\sqrt{8,25}{{/formula}}
170 <br>
171 {{formula}}\overrightarrow{GS}= \left(\begin{matrix}3\\2\\-0,5 \end{matrix}\right); \ \ \ |\overrightarrow{GS}|=\sqrt{9+4+0,25}=\sqrt{13,25}{{/formula}}
172 <br>
173 {{formula}}|\overrightarrow{FG}|=5{{/formula}}
174 <br>
175 Da alle drei Seiten unterschiedlich lang sind, ist das Sonnensegel kein gleichschenkliges Dreieck.
176 {{/detail}}
177
akukin 1.1 178 === Teilaufgabe f) ===
179 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
180 {{formula}}\overrightarrow{FP_k}=\left(\begin{matrix}-2\\k-2\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
181 <br>
182 {{formula}}|\overrightarrow{FP_k}|=|\overrightarrow{GF}| \ \Leftrightarrow \ 5=\sqrt{4,25+(k-2)^2 }{{/formula}}
183 <br>
184 {{formula}}0=k^2-4k-16,75{{/formula}}
185 <br>
186 {{formula}}k_1\approx 6,56; \ k_2\approx-2,56{{/formula}}
187 <br>
188 D. h. für {{formula}}k_1{{/formula}} ist {{formula}}FGP_k{{/formula}} gleichschenklig.
189 <br><p>
190 Die Lösung {{formula}}k_2{{/formula}} ist aufgrund des Sachzusammenhangs irrelevant.
191 </p>
akukin 10.1 192 Alternativ: Ansatz {{formula}}|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx 5,97{{/formula}}.
akukin 1.1 193 {{/detail}}
194
akukin 10.1 195
196 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
197 //Aufgabenstellung//
198 <br><p>
199 Bestimme einen Wert für {{formula}}k{{/formula}}, so dass durch die Verschiebung der Pfostenspitze in den Punkt {{formula}}P_k(3|k|1,5){{/formula}} ein gleichschenkliges Dreieck {{formula}}FGP_k{{/formula}} entsteht.
200 </p>
201 //Lösung//
202 <br>
203 Die Länge der Seite {{formula}}FP_k{{/formula}} des neuen Dreiecks {{formula}}FGP_k{{/formula}} kann mit Hilfe des Betrags des Verbindungsvektors zwischen den Punkten {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}P_k{{/formula}} ermittelt werden.
204 <br>
205 {{formula}}\overrightarrow{FP_k}=\left(\begin{matrix}-2\\k-2\\-0,5 \end{matrix}\right){{/formula}}
206 <br>
207 Den Betrag dieses Verbindungsvektors kann man mit der Länge der Seite {{formula}}GF{{/formula}} gleichsetzen und die resultierende Gleichung nach {{formula}}k{{/formula}} auflösen.
208 <br>
209
210 {{formula}}
akukin 11.1 211 \begin{align*}
akukin 10.1 212 |\overrightarrow{FP_k}| & = |\overrightarrow{GF}| \\
213 \Leftrightarrow \quad & \sqrt{4,25+(k-2)^2 } = 5 \\
214 \Leftrightarrow \quad & 4,25+(k-2)^2 = 25 \\
215 \Leftrightarrow \quad & k^2-4k-16,75 = 0 \\
216 \Leftrightarrow \quad & k_1 \approx 6,56; \quad k_2 \approx -2,56
akukin 11.1 217 \end{align*}
akukin 10.1 218 {{/formula}}
219
220 D. h. für {{formula}}k_1{{/formula}} ist {{formula}}FGP_k{{/formula}} gleichschenklig.
221 <br><p>
222 Die Lösung {{formula}}k_2{{/formula}} ist aufgrund des Sachzusammenhangs irrelevant, denn mit einer negativen {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate läge der Pfosten auf der falschen Seite des Glashauses.
223 </p>
224 Alternativ: Ansatz {{formula}}|\overrightarrow{GP_k}|=|\overrightarrow{GF}|{{/formula}} möglich mit {{formula}}k_1\approx5,97{{/formula}}.
225 {{/detail}}
226
akukin 1.1 227 === Teilaufgabe g) ===
228 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
229 Mit dem Ansatz kann die {{formula}}x_1{{/formula}}-Koordinate des Punktes {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}, der von den beiden Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} denselben Abstand hat, bestimmt werden.
230 {{/detail}}
akukin 10.1 231
232
233 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
234 //Aufgabenstellung//
235 <br>
236 Zur Lösung einer Aufgabe im Zusammenhang mit den Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} ergibt sich folgender Ansatz:
237 <br>
238 {{formula}}\left|\left(\begin{matrix}5-t\\ 2-4\\0-3 \end{matrix}\right)\right| =\left|\left(\begin{matrix}0-t\\ 2-4\\2-3 \end{matrix}\right)\right| {{/formula}}
239 <br><p>
240 Interpretiere diesen Ansatz.
241 </p>
242 //Lösung//
243 <br>
244 Man kann beide Seiten der Gleichung als Beträge von Verbindungsvektoren auffassen.
245 Die Spitze der Verbindungsvektoren ist identisch, nämlich {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}. Die Füsse der Verbindungsvektoren sind Punkte, die in der Aufgabe vorkommen.
246 Mit dem Ansatz kann also die {{formula}}x_1{{/formula}}-Koordinate des Punktes {{formula}}T(t|4|3){{/formula}}, der von den beiden Punkten {{formula}}B{{/formula}} und {{formula}}G{{/formula}} denselben Abstand hat, bestimmt werden.
247 {{/detail}}
248