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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Marcel Haidle am 2026/02/25 20:59
Von Version 10.1
bearbeitet von Marcel Haidle
am 2026/02/25 20:05
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am 2026/02/25 20:59
Änderungskommentar: Skizze Teilaufgabe e) hinzugefügt

Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -20,15 +20,16 @@
20 20  {{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}
21 21  <br>
22 22  Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn sie parallel sind oder wenn sie sich schneiden.
23 - <br>1) Prüfen auf Parallelität {{formula}}g \parallel h ?{{/formula}}:
24 24  <br>
24 +<br>1) Prüfen auf Parallelität {{formula}}g \parallel h ?{{/formula}}:
25 +<br>
25 25  {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) \begin{matrix}\implies r={1\over3}\\\implies r={1\over2}\\\implies{r=1} \end{matrix} {{/formula}}
26 26  <br>
27 - g und h sind nicht parallel, da ihre Richtunsvektoren keine Vielfachen voneinander sind.
28 - <br>
28 +g und h sind nicht parallel, da ihre Richtunsvektoren keine Vielfachen voneinander sind.
29 29  <br>
30 - 2) Prüfen, ob sie sich schneiden:
31 31  <br>
31 + 2) Prüfen, ob sich die Geraden schneiden:
32 +<br>
32 32  {{formula}}g \cap h:\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) {{/formula}}
33 33  <br>
34 34  Dazugehöriges lineares Gleichungssystem für {{formula}}r{{/formula}} und {{formula}}s{{/formula}}:
... ... @@ -52,9 +52,10 @@
52 52  \Leftrightarrow
53 53  r = -2 \land s = -1
54 54  {{/formula}}
56 +<br>
57 +<br>
58 +Da das LGS eine Lösung hat schneiden sich die Geraden und somit liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene.
55 55  
56 -Da das LGS eine Lösung hat schneiden sich die Geraden und deeswegen liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene.
57 -
58 58  {{/detail}}
59 59  
60 60  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -152,7 +152,9 @@
152 152  <br>
153 153  Wir zeigen zuerst, dass der weitere Eckpunkt {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} in der Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegt.
154 154  <br>
155 -{{formula}}E: 2\cdot(-1)+2\cdot 2+4=6 \quad (\text{w}){{/formula}}
157 +{{formula}}E: 2\cdot(-1)+2\cdot 2+4=6 {{/formula}}
158 + <br>
159 +{{formula}}\quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad \quad 6=6 \quad (\text{w}){{/formula}}
156 156  <br><p>
157 157  Da die Punktprobe eine wahre Aussage ergibt, liegt der Punkt in der Ebene.
158 158  </p>
... ... @@ -164,11 +164,12 @@
164 164  <br><p>
165 165  Damit sind {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sowohl orthogonal als auch gleich lang, also sind sie Seiten eines in {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats.
166 166  </p>
167 -Der fehlende Punkt {{formula}}D{{/formula}} kann ermittelt werden, indem zum Ortsvektor einer Ecke des Quadrats der Verbindungsvektor der gegenüberliegenden Seite addiert wird (was anhand einer Skizze veranschaulicht werden kann).
171 +Der fehlende Punkt {{formula}}D{{/formula}} kann ermittelt werden, indem zum Ortsvektor einer Ecke des Quadrats (z.B. A) der Verbindungsvektor der gegenüberliegenden Seite (z.B. {{formula}}\overrightarrow{BC}{{/formula}}) addiert wird (was anhand einer Skizze veranschaulicht werden kann).
168 168  <br>
169 169  {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}=\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right) +\left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}3\\0\\0\end{matrix}\right) {{/formula}}
170 170  <br>
171 171  Der fehlende Eckpunkt des Quadrats ist also {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}.
176 +[[image:Skizze-Teilaufgabe-b.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
172 172  {{/detail}}
173 173  
174 174  === Teilaufgabe e) ===
... ... @@ -187,6 +187,7 @@
187 187  Bestimme die Koordinaten einer möglichen Spitze der Pyramide, sodass diese die Höhe 12 hat.
188 188  </p>
189 189  //Lösung//
195 +[[image:Skizze-Teilaufgabe-e.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
190 190  <br>
191 191  Zuerst wird der Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Grundfläche, also des Quadrats benötigt; er ist zugleich Mittelpunkt der Diagonalen {{formula}}AC{{/formula}}. (Die Formel für die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke findet sich in der Merkhilfe.)
192 192  <br>
Skizze-Teilaufgabe-b.odg
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Skizze-Teilaufgabe-b.png
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