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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Marcel Haidle am 2026/02/25 20:59
Von Version 11.1
bearbeitet von Marcel Haidle
am 2026/02/25 20:10
Änderungskommentar: Teilaufgabe b) : Option "parallele Geraden" hinzugefügt
Auf Version 7.1
bearbeitet von akukin
am 2025/01/31 23:40
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.marcel
1 +XWiki.akukin
Inhalt
... ... @@ -19,17 +19,8 @@
19 19  <br>
20 20  {{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}
21 21  <br>
22 -Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn sie parallel sind oder wenn sie sich schneiden.
22 +Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn Sie sich schneiden.
23 23  <br>
24 -<br>1) Prüfen auf Parallelität {{formula}}g \parallel h ?{{/formula}}:
25 -<br>
26 -{{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) \begin{matrix}\implies r={1\over3}\\\implies r={1\over2}\\\implies{r=1} \end{matrix} {{/formula}}
27 -<br>
28 -g und h sind nicht parallel, da ihre Richtunsvektoren keine Vielfachen voneinander sind.
29 -<br>
30 -<br>
31 - 2) Prüfen, ob sich die Geraden schneiden:
32 -<br>
33 33  {{formula}}g \cap h:\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) {{/formula}}
34 34  <br>
35 35  Dazugehöriges lineares Gleichungssystem für {{formula}}r{{/formula}} und {{formula}}s{{/formula}}:
... ... @@ -53,10 +53,9 @@
53 53  \Leftrightarrow
54 54  r = -2 \land s = -1
55 55  {{/formula}}
56 -<br>
57 -<br>
58 -Da das LGS eine Lösung hat schneiden sich die Geraden und somit liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene.
59 59  
48 +Da das LGS eine Lösung hat, liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene.
49 +
60 60  {{/detail}}
61 61  
62 62  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -114,19 +114,17 @@
114 114  Stelle die Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit Hilfe der Spurpunkte in einem räumlichen Koordinatensystem dar.
115 115  </p>
116 116  //Lösung//
117 -<br><p>
107 +<br>
118 118  Die Spurpunkte einer Ebene sind die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen mit dieser Ebene, also diejenigen Punkte auf der Ebene, die gleichzeitig auch auf einer der Achsen liegen.
119 -</p><p>
120 120  Zwei der drei Koordinaten eines Spurpunkts sind immer Null. Setzt man zwei Koordinaten in der Ebenengleichung auf Null, kann man die dritte Koordinate ermitteln.
121 -</p>
110 +<br>
122 122  Spurpunkte:
123 123  <br>
124 -{{formula}}S_1: x_2=x_3=0 \ \Rightarrow \ x_1=3; \ S_1(3|0|0){{/formula}}
113 +{{formula}}S_1: x_2=x_3=0 \ \rightarrow \ x_1=3; \ S_1(3|0|0){{/formula}}
125 125  <br>
126 -{{formula}}S_2: x_1=x_3=0 \ \Rightarrow \ x_2=3; \ S_2 (0|3|0){{/formula}}
115 +{{formula}}S_2: x_1=x_3=0 \ \rightarrow \ x_2=3; \ S_2 (0|3|0){{/formula}}
127 127  <br>
128 -{{formula}}S_3: x_1=x_2=0 \ \Rightarrow \ x_3=6; \ S_3 (0|0|6){{/formula}}
129 -<br>
117 +{{formula}}S_3: x_1=x_2=0 \ \rightarrow \ x_3=6; \ S_3 (0|0|6){{/formula}}
130 130  Zeichnet man die drei Spurpunkte in ein Koordinatensystem und verbindet sie, so repräsentiert das sich ergebende Dreieck die Ebene.
131 131  [[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
132 132  {{/detail}}
... ... @@ -154,11 +154,11 @@
154 154  <br>
155 155  Wir zeigen zuerst, dass der weitere Eckpunkt {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} in der Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegt.
156 156  <br>
157 -{{formula}}E: 2\cdot(-1)+2\cdot 2+4=6 \quad (\text{w}){{/formula}}
145 +{{formula}}E: 2\cdot(-1)+2\cdot 2+4=6 \quad (w){{/formula}}
158 158  <br><p>
159 159  Da die Punktprobe eine wahre Aussage ergibt, liegt der Punkt in der Ebene.
160 160  </p>
161 -Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B(-1|2|4){{/formula}}. Zum einen muss gelten, dass die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt {{formula}}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss {{formula}}|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|{{/formula}} gelten.
149 +Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B(-1|2|4){{/formula}}. Zum einen muss gelten, dass die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt {{formula}}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss |(AB) ⃗ |=|(BC) ⃗ | gelten.
162 162  <br>
163 163  {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0{{/formula}}
164 164  <br>