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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Marcel Haidle am 2026/02/25 20:59
Von Version 5.1
bearbeitet von akukin
am 2025/01/31 23:32
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Auf Version 10.2
bearbeitet von Marcel Haidle
am 2026/02/25 20:08
Änderungskommentar: Zweite Option "parallele Geraden" ergänzt

Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.akukin
1 +XWiki.marcel
Inhalt
... ... @@ -19,8 +19,17 @@
19 19  <br>
20 20  {{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}
21 21  <br>
22 -Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn Sie sich schneiden.
22 +Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn sie parallel sind oder wenn sie sich schneiden.
23 23  <br>
24 +<br>1) Prüfen auf Parallelität {{formula}}g \parallel h ?{{/formula}}:
25 +<br>
26 +{{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) \begin{matrix}\implies r={1\over3}\\\implies r={1\over2}\\\implies{r=1} \end{matrix} {{/formula}}
27 +<br>
28 +g und h sind nicht parallel, da ihre Richtunsvektoren keine Vielfachen voneinander sind.
29 +<br>
30 +<br>
31 + 2) Prüfen, ob sich die Geraden schneiden:
32 +<br>
24 24  {{formula}}g \cap h:\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) {{/formula}}
25 25  <br>
26 26  Dazugehöriges lineares Gleichungssystem für {{formula}}r{{/formula}} und {{formula}}s{{/formula}}:
... ... @@ -44,9 +44,10 @@
44 44  \Leftrightarrow
45 45  r = -2 \land s = -1
46 46  {{/formula}}
56 +<br>
57 +<br>
58 +Da das LGS eine Lösung hat schneiden sich die Geraden und somit liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene.
47 47  
48 -Da das LGS eine Lösung hat, liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene.
49 -
50 50  {{/detail}}
51 51  
52 52  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -104,17 +104,19 @@
104 104  Stelle die Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit Hilfe der Spurpunkte in einem räumlichen Koordinatensystem dar.
105 105  </p>
106 106  //Lösung//
107 -<br>
117 +<br><p>
108 108  Die Spurpunkte einer Ebene sind die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen mit dieser Ebene, also diejenigen Punkte auf der Ebene, die gleichzeitig auch auf einer der Achsen liegen.
119 +</p><p>
109 109  Zwei der drei Koordinaten eines Spurpunkts sind immer Null. Setzt man zwei Koordinaten in der Ebenengleichung auf Null, kann man die dritte Koordinate ermitteln.
110 -<br>
121 +</p>
111 111  Spurpunkte:
112 112  <br>
113 -{{formula}}S_1: x_2=x_3=0 \ \rightarrow \ x_1=3; \ S_1(3|0|0){{/formula}}
124 +{{formula}}S_1: x_2=x_3=0 \ \Rightarrow \ x_1=3; \ S_1(3|0|0){{/formula}}
114 114  <br>
115 -{{formula}}S_2: x_1=x_3=0 \ \rightarrow \ x_2=3; \ S_2 (0|3|0){{/formula}}
126 +{{formula}}S_2: x_1=x_3=0 \ \Rightarrow \ x_2=3; \ S_2 (0|3|0){{/formula}}
116 116  <br>
117 -{{formula}}S_3: x_1=x_2=0 \ \rightarrow \ x_3=6; \ S_3 (0|0|6){{/formula}}
128 +{{formula}}S_3: x_1=x_2=0 \ \Rightarrow \ x_3=6; \ S_3 (0|0|6){{/formula}}
129 +<br>
118 118  Zeichnet man die drei Spurpunkte in ein Koordinatensystem und verbindet sie, so repräsentiert das sich ergebende Dreieck die Ebene.
119 119  [[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
120 120  {{/detail}}
... ... @@ -142,11 +142,11 @@
142 142  <br>
143 143  Wir zeigen zuerst, dass der weitere Eckpunkt {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} in der Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegt.
144 144  <br>
145 -{{formula}}E: 2\cdot(-1)+2\cdot 2+4=6 \quad (w){{/formula}}
157 +{{formula}}E: 2\cdot(-1)+2\cdot 2+4=6 \quad (\text{w}){{/formula}}
146 146  <br><p>
147 147  Da die Punktprobe eine wahre Aussage ergibt, liegt der Punkt in der Ebene.
148 148  </p>
149 -Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B(-1|2|4){{/formula}}. Zum einen muss gelten, dass die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt {{formula}}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss |(AB) ⃗ |=|(BC) ⃗ | gelten.
161 +Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B(-1|2|4){{/formula}}. Zum einen muss gelten, dass die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt {{formula}}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss {{formula}}|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|{{/formula}} gelten.
150 150  <br>
151 151  {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0{{/formula}}
152 152  <br>