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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Marcel Haidle am 2026/02/25 20:59
Von Version 8.1
bearbeitet von akukin
am 2025/01/31 23:42
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am 2026/02/25 20:33
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.akukin
1 +XWiki.marcel
Inhalt
... ... @@ -19,8 +19,17 @@
19 19  <br>
20 20  {{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}
21 21  <br>
22 -Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn Sie sich schneiden.
22 +Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn sie parallel sind oder wenn sie sich schneiden.
23 23  <br>
24 +<br>1) Prüfen auf Parallelität {{formula}}g \parallel h ?{{/formula}}:
25 +<br>
26 +{{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) \begin{matrix}\implies r={1\over3}\\\implies r={1\over2}\\\implies{r=1} \end{matrix} {{/formula}}
27 +<br>
28 +g und h sind nicht parallel, da ihre Richtunsvektoren keine Vielfachen voneinander sind.
29 +<br>
30 +<br>
31 + 2) Prüfen, ob sich die Geraden schneiden:
32 +<br>
24 24  {{formula}}g \cap h:\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) {{/formula}}
25 25  <br>
26 26  Dazugehöriges lineares Gleichungssystem für {{formula}}r{{/formula}} und {{formula}}s{{/formula}}:
... ... @@ -44,9 +44,10 @@
44 44  \Leftrightarrow
45 45  r = -2 \land s = -1
46 46  {{/formula}}
56 +<br>
57 +<br>
58 +Da das LGS eine Lösung hat schneiden sich die Geraden und somit liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene.
47 47  
48 -Da das LGS eine Lösung hat, liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene.
49 -
50 50  {{/detail}}
51 51  
52 52  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -144,11 +144,13 @@
144 144  <br>
145 145  Wir zeigen zuerst, dass der weitere Eckpunkt {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} in der Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegt.
146 146  <br>
147 -{{formula}}E: 2\cdot(-1)+2\cdot 2+4=6 \quad (\text{w}){{/formula}}
157 +{{formula}}E: 2\cdot(-1)+2\cdot 2+4=6 {{/formula}}
158 + <br>
159 +{{formula}}\quad \quad \quad \quad \quad\quad \quad \quad \quad 6=6 \quad (\text{w}){{/formula}}
148 148  <br><p>
149 149  Da die Punktprobe eine wahre Aussage ergibt, liegt der Punkt in der Ebene.
150 150  </p>
151 -Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B(-1|2|4){{/formula}}. Zum einen muss gelten, dass die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt {{formula}}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss {{formula}}|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|{{formula}} gelten.
163 +Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B(-1|2|4){{/formula}}. Zum einen muss gelten, dass die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt {{formula}}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss {{formula}}|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|{{/formula}} gelten.
152 152  <br>
153 153  {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0{{/formula}}
154 154  <br>
... ... @@ -157,6 +157,8 @@
157 157  Damit sind {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sowohl orthogonal als auch gleich lang, also sind sie Seiten eines in {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats.
158 158  </p>
159 159  Der fehlende Punkt {{formula}}D{{/formula}} kann ermittelt werden, indem zum Ortsvektor einer Ecke des Quadrats der Verbindungsvektor der gegenüberliegenden Seite addiert wird (was anhand einer Skizze veranschaulicht werden kann).
172 +[[image:Skizze-Teilaufgabe-b.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
173 +
160 160  <br>
161 161  {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}=\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right) +\left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}3\\0\\0\end{matrix}\right) {{/formula}}
162 162  <br>
Skizze-Teilaufgabe-b.odg
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Skizze-Teilaufgabe-b.png
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