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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Version 13.1 von Marcel Haidle am 2026/02/25 20:14
Verstecke letzte Bearbeiter
akukin 1.1 1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
3 {{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}
4 <br>
5 {{formula}}g\cap h{{/formula}} ergibt Schnittpunkt {{formula}}T(-1|5|-2){{/formula}}, d.h. {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} liegen in einer Ebene.
6 {{/detail}}
7
akukin 4.1 8
9 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
10 //Aufgabenstellung//
11 <br><p>
12 Zeige, dass die Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer gemeinsamen Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegen.
13 </p>
14 //Lösung//
15 <br>
16 Die Gleichung der Gerade {{formula}}g{{/formula}} hat den Stützpunkt {{formula}}A{{/formula}} und den Richtungsvektor {{formula}}\overrightarrow{AC}{{/formula}}.
17 <br>
18 {{formula}}g: \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot \overrightarrow{AC}; \quad s \in \mathbb{R}{{/formula}}
19 <br>
20 {{formula}}g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}{{/formula}}
21 <br>
Marcel Haidle 13.1 22 Zwei Geraden liegen in einer gemeinsamen Ebene, wenn sie parallel sind oder wenn sie sich schneiden.
akukin 4.1 23 <br>
Marcel Haidle 13.1 24 <br>1) Prüfen auf Parallelität {{formula}}g \parallel h ?{{/formula}}:
25 <br>
26 {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) \begin{matrix}\implies r={1\over3}\\\implies r={1\over2}\\\implies{r=1} \end{matrix} {{/formula}}
27 <br>
28 g und h sind nicht parallel, da ihre Richtunsvektoren keine Vielfachen voneinander sind.
29 <br>
30 <br>
31 2) Prüfen, ob sich die Geraden schneiden:
32 <br>
akukin 4.1 33 {{formula}}g \cap h:\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}5\\-3\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right) {{/formula}}
34 <br>
35 Dazugehöriges lineares Gleichungssystem für {{formula}}r{{/formula}} und {{formula}}s{{/formula}}:
36
37 {{formula}}
38 \left\{
39 \begin{aligned}
40 0 + 1s &= 5 + 3r \\
41 3 - 2s &= -3 - 4r \\
42 0 + 2s &= 2 + 2r
43 \end{aligned}
44 \right\}
45 \Leftrightarrow
46 \left\{
47 \begin{aligned}
48 s - 3r &= 5 \\
49 -2s + 4r &= -6 \\
50 2s - 2r &= 2
51 \end{aligned}
52 \right\}
53 \Leftrightarrow
54 r = -2 \land s = -1
55 {{/formula}}
Marcel Haidle 13.1 56 <br>
57 <br>
58 Da das LGS eine Lösung hat schneiden sich die Geraden und somit liegen {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} in einer Ebene.
akukin 4.1 59
60 {{/detail}}
61
akukin 1.1 62 === Teilaufgabe b) ===
63 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
64 Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
65 <br>
66 Damit nach Punktprobe z. B. mit {{formula}}A{{/formula}}: {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
67 {{/detail}}
68
akukin 4.1 69
70 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
71 //Aufgabenstellung//
72 <br><p>
73 Bestimme eine Koordinatengleichung der in Teilaufgabe a) beschriebenen Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
74 <br>
75 //(Zur Kontrolle {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6){{/formula}}//
76 </p>
77 //Lösung//
78 <br>
79 Die beiden Richtungsvektoren der Geraden {{formula}}g{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}} sind die Spannvektoren der Ebene {{formula}}E{{/formula}}.
80 <br>
81 Der Normalenvektor der Ebene ist das Vektorprodukt aus den beiden Spannvektoren der Ebene.
82 <br>
83 Normalenvektor: {{formula}}\left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right){{/formula}}
84 <br><p>
85 Allgemein lautet die Koordinatenform einer Ebene {{formula}}n_1 x_1+n_2 x_2+n_3 x_3=b{{/formula}}, wobei {{formula}}\vec{n} =\left(\begin{matrix} n_1\\n_2\\n_3\end{matrix}\right){{/formula}} ein Normalenvektor der Ebene ist.
86 </p>
87 {{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=b{{/formula}}
88 <br>
89 Den noch fehlenden Wert für {{formula}}b{{/formula}} auf der rechten Seite der Koordinatenform erhält man am schnellsten, indem man eine Punktprobe durchführt, z. B. mit dem Punkt {{formula}}A{{/formula}}.
90 <br>
91 {{formula}}A(0|3|0): \ E:4\cdot 0+4\cdot 3+2\cdot 0=b \Leftrightarrow b=12{{/formula}}
92 <br>
93 {{formula}}E: 4x_1+4x_2+2x_3=12{{/formula}}
94 <br>
95 Diese Gleichung kann noch durch 2 dividiert werden.
96 <br>
97 {{formula}}E: 2x_1+2x_2+x_3=6{{/formula}}
98 {{/detail}}
99
akukin 1.1 100 === Teilaufgabe c) ===
101 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
102 Spurpunkt {{formula}}S_1: x_2=x_3=0; \ S_1 (3|0|0){{/formula}}
103 <br>
104 Analog: {{formula}}S_2 (0|3|0), \ S_3 (0|0|6){{/formula}}
akukin 3.1 105 [[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
akukin 1.1 106 {{/detail}}
107
akukin 5.1 108
109 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
110 //Aufgabenstellung//
111 <br><p>
112 Berechne die Koordinaten der Spurpunkte von {{formula}}E{{/formula}}.
113 <br>
114 Stelle die Ebene {{formula}}E{{/formula}} mit Hilfe der Spurpunkte in einem räumlichen Koordinatensystem dar.
115 </p>
116 //Lösung//
akukin 8.1 117 <br><p>
akukin 5.1 118 Die Spurpunkte einer Ebene sind die Durchstoßpunkte der Koordinatenachsen mit dieser Ebene, also diejenigen Punkte auf der Ebene, die gleichzeitig auch auf einer der Achsen liegen.
akukin 8.1 119 </p><p>
akukin 5.1 120 Zwei der drei Koordinaten eines Spurpunkts sind immer Null. Setzt man zwei Koordinaten in der Ebenengleichung auf Null, kann man die dritte Koordinate ermitteln.
akukin 8.1 121 </p>
akukin 5.1 122 Spurpunkte:
123 <br>
akukin 8.1 124 {{formula}}S_1: x_2=x_3=0 \ \Rightarrow \ x_1=3; \ S_1(3|0|0){{/formula}}
akukin 5.1 125 <br>
akukin 8.1 126 {{formula}}S_2: x_1=x_3=0 \ \Rightarrow \ x_2=3; \ S_2 (0|3|0){{/formula}}
akukin 5.1 127 <br>
akukin 8.1 128 {{formula}}S_3: x_1=x_2=0 \ \Rightarrow \ x_3=6; \ S_3 (0|0|6){{/formula}}
129 <br>
akukin 5.1 130 Zeichnet man die drei Spurpunkte in ein Koordinatensystem und verbindet sie, so repräsentiert das sich ergebende Dreieck die Ebene.
131 [[image:LösungB3.2.png||width="250" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
132 {{/detail}}
133
akukin 1.1 134 === Teilaufgabe d) ===
135 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
136 Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B{{/formula}}, dieser liegt in {{formula}}E: 2\cdot (-1)+2\cdot 2+4=6{{/formula}}
137 <br>
138 {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0; \ |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{18}{{/formula}}
139 <br>
140 Damit sind {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} Seiten eines in {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats.
141 <br>
142 Mit {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}{{/formula}} ist {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}.
143 {{/detail}}
144
akukin 5.1 145
146 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
147 //Aufgabenstellung//
148 <br><p>
149 Zeige, dass ein weiterer Eckpunkt des Quadrats die Koordinaten {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} hat.
150 <br>
151 Berechne die Koordinaten des vierten Eckpunktes {{formula}}D{{/formula}}.
152 </p>
153 //Lösung//
154 <br>
155 Wir zeigen zuerst, dass der weitere Eckpunkt {{formula}}(-1|2|4){{/formula}} in der Ebene {{formula}}E{{/formula}} liegt.
156 <br>
akukin 8.1 157 {{formula}}E: 2\cdot(-1)+2\cdot 2+4=6 \quad (\text{w}){{/formula}}
akukin 5.1 158 <br><p>
159 Da die Punktprobe eine wahre Aussage ergibt, liegt der Punkt in der Ebene.
160 </p>
akukin 9.1 161 Der weitere Eckpunkt sei {{formula}}B(-1|2|4){{/formula}}. Zum einen muss gelten, dass die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} des Quadrats senkrecht aufeinander stehen, also dass dass Skalarprodukt {{formula}}\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}=0{{/formula}} ergibt; zum anderen müssen die beiden Seiten gleich lang sein, also muss {{formula}}|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|{{/formula}} gelten.
akukin 5.1 162 <br>
163 {{formula}}\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0{{/formula}}
164 <br>
165 {{formula}}|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2+4^2}=\sqrt{18} ; \ |\overrightarrow{BC}|=\sqrt{3^2+(-3)^2+0^2}=\sqrt{18}{{/formula}}
166 <br><p>
167 Damit sind {{formula}}AB{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}} sowohl orthogonal als auch gleich lang, also sind sie Seiten eines in {{formula}}E{{/formula}} liegenden Quadrats.
168 </p>
169 Der fehlende Punkt {{formula}}D{{/formula}} kann ermittelt werden, indem zum Ortsvektor einer Ecke des Quadrats der Verbindungsvektor der gegenüberliegenden Seite addiert wird (was anhand einer Skizze veranschaulicht werden kann).
170 <br>
171 {{formula}}\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC}=\left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right) +\left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right) =\left(\begin{matrix}3\\0\\0\end{matrix}\right) {{/formula}}
172 <br>
173 Der fehlende Eckpunkt des Quadrats ist also {{formula}}D(3|0|0){{/formula}}.
174 {{/detail}}
175
akukin 1.1 176 === Teilaufgabe e) ===
177 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
akukin 3.1 178 Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right){{/formula}}; also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}
akukin 1.1 179 <br>
180 Normalenvektor von {{formula}}E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}} mit {{formula}}|\vec{n}|=3{{/formula}}
181 <br>
182 Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM} \pm 4\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9|9|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7|-7|-2){{/formula}}.
183 {{/detail}}
184
akukin 5.1 185
186 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
187 //Aufgabenstellung//
188 <br><p>
189 Bestimme die Koordinaten einer möglichen Spitze der Pyramide, sodass diese die Höhe 12 hat.
190 </p>
191 //Lösung//
192 <br>
193 Zuerst wird der Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} der Grundfläche, also des Quadrats benötigt; er ist zugleich Mittelpunkt der Diagonalen {{formula}}AC{{/formula}}. (Die Formel für die Berechnung des Mittelpunkts einer Strecke findet sich in der Merkhilfe.)
194 <br>
195 Mittelpunkt der Grundfläche: {{formula}}\overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC})=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right);{{/formula}} also {{formula}}M(1|1|2){{/formula}}
196 <br>
197 Die Spitze der Pyramide ist vom Mittelpunkt {{formula}}M{{/formula}} 12 Längeneinheiten in Richtung des Normalenvektors entfernt.
198 <br>
199 Der Normalenvektor der Ebene ist gegeben durch die Koeffizienten der Koordinatenform der Ebenengleichung.
200 <br>
201 Normalenvektor von {{formula}}E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}}
202 <br>
203 Addiert (oder subtrahiert) man zum Ortsvektor von {{formula}}M{{/formula}} zwölfmal den Einheitsvektor von {{formula}}\vec{n}{{/formula}}, so erhält man den Ortsvekor der Spitze.
204 <br>
205 Der Einheitsvektor eines Vektors ist der Vektor dividiert durch seinen Betrag.
206 <br>
207 {{formula}}|\vec{n}|=3; \ \vec{n}=\frac{1}{3}\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right){{/formula}}
208 <br>
209 Damit gilt für die Spitze {{formula}}S{{/formula}} der Pyramide {{formula}}\overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM}\pm 12\cdot \frac{1}{3}\cdot \vec{n}{{/formula}}, also {{formula}}S(9|9|6){{/formula}} oder {{formula}}S(-7|-7|-2){{/formula}}.
210 {{/detail}}
211
akukin 1.1 212 === Teilaufgabe f) ===
213 {{detail summary="Erwartungshorizont (offiziell)"}}
214 Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.
215 <br>
216 {{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}}
217 <br>
akukin 3.1 218 {{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.
akukin 1.1 219 {{/detail}}
akukin 5.1 220
221
222 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
223 //Aufgabenstellung//
224 <br><p>
225 Begründe, dass der Schattenpunkt {{formula}}R^\prime{{/formula}} außerhalb der Grundfläche der Pyramide liegt.
226 <br>
227 Berechne die Koordinaten der Spitze {{formula}}R{{/formula}}.
228 </p>
229 //Lösung//
230 <br><p>
231 Die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}R^\prime{{/formula}} ist negativ, während alle {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinaten der Punkte {{formula}}A,B,C,D{{/formula}} größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss {{formula}}R{{/formula}} außerhalb der Grundfläche {{formula}}ABCD{{/formula}} liegen.
232 </p>
233 Da die weitere Pyramide ebenfalls gerade ist, liegt die Spitze {{formula}}R{{/formula}} auch auf der Geraden durch {{formula}}M{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}}.
234 <br>
235 Die Spitze {{formula}}R{{/formula}} muss zudem auf einer Geraden liegen, die {{formula}}R^\prime{{/formula}} als Stützpunkt hat und parallel zur {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse verläuft (denn aus dieser Richtung wird die Pyramide beleuchtet).
236 <br>
237 Die beiden Geraden, auf der {{formula}}R{{/formula}} liegen muss, haben die Gleichungen:
238 <br>
239 {{formula}}g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}{{/formula}}
240 <br>
241 {{formula}}g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{/formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}.
242
243 {{/detail}}
244