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Lösung Lineare Algebra

Version 2.1 von akukin am 2025/01/29 00:10

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont (offiziell) g:\vec{x}= \left(\begin{matrix}0\\3\\0\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right); \ s\in \mathbb{R}
g\cap h ergibt Schnittpunkt T(-1|5|-2), d.h. g und h liegen in einer Ebene.

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont (offiziell) Normalenvektor: \left(\begin{matrix}1\\-2\\2\end{matrix}\right) \times \left(\begin{matrix}3\\-4\\2\end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix}4\\4\\2\end{matrix}\right)
Damit nach Punktprobe z. B. mit A: E: 2x_1+2x_2+x_3=6

Teilaufgabe c)

Erwartungshorizont (offiziell) Spurpunkt S_1: x_2=x_3=0; \ S_1 (3|0|0)
Analog: S_2 (0|3|0), \ S_3 (0|0|6)

Teilaufgabe d)

Erwartungshorizont (offiziell) Der weitere Eckpunkt sei B, dieser liegt in E: 2\cdot (-1)+2\cdot 2+4=6
\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}= \left(\begin{matrix}-1\\-1\\4\end{matrix}\right)\cdot \left(\begin{matrix}3\\-3\\0\end{matrix}\right)=0; \ |\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{BC}|=\sqrt{18}
Damit sind AB und BC Seiten eines in E liegenden Quadrats.
Mit \overrightarrow{OD}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{BC} ist D(3|0|0).

Teilaufgabe e)

Erwartungshorizont (offiziell) Mittelpunkt der Grundfläche: \overrightarrow{OM}= \frac{1}{2}\cdot (\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}); also M(1|1|2)
Normalenvektor von E: \vec{n}=\left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right) mit |\vec{n}|=3
Damit gilt für die Spitze S der Pyramide \overrightarrow{OS}=\overrightarrow{OM} \pm 4\cdot \vec{n}, also S(9|9|6) oder S(-7|-7|-2).

Teilaufgabe f)

Erwartungshorizont (offiziell) Die x_3-Koordinate von R^\prime ist negativ, während alle x_3-Koordinaten der Punkte A,B,C,D größer oder gleich 0 sind. Deshalb muss R außerhalb der Grundfläche ABCD liegen.
g_{MR}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}1\\1\\2\end{matrix}\right)+r\cdot \left(\begin{matrix}2\\2\\1\end{matrix}\right); \ r\in \mathbb{R} \quad g_{R^\prime R}: \vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\3\\-6\end{matrix}\right)+s\cdot \left(\begin{matrix}0\\0\\1\end{matrix}\right); \ s \in \mathbb{R}
g_{MR}\cap g_{R^\prime R}{{formula}} ergibt den Schnittpunkt {{formula}}R(3|3|3){{/formula}}. </detail>