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Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

Zuletzt geändert von akukin am 2025/01/23 23:13
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bearbeitet von akukin
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -109,7 +109,6 @@
109 109  Pfadregel: {{formula}}\textcolor{red}{P(A\cap \overline{I})=P(A)\cdot P_A (\overline{I})=0,055\cdot 0,9= 0,0495} {{/formula}})))
110 110  (% style="color:green" %)(((Grün: Berechnung mittels Summenregel („Oben plus Mitte ist gleich unten“, „Links plus Mitte ist gleich rechts“) )))
111 111  Die Indizes geben die Reihenfolge der Bestimmung der Einträge wieder.
112 -
113 113  {{/detail}}
114 114  
115 115  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -119,11 +119,47 @@
119 119  Mit {{formula}}P(A)\cdot P(I)=0,055\cdot 0,0405=0,0022\neq 0,0055{{/formula}} folgt die stochastische Abhängigkeit.
120 120  {{/detail}}
121 121  
121 +
122 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
123 +//Aufgabenstellung//
124 +<br><p>
125 +Zeige, dass das Auftreten der beiden Unverträglichkeiten stochastisch abhängig voneinander ist.
126 +</p>
127 +//Lösung//
128 +<br>
129 +Die stochastische (Un)abhängigkeit lässt sich überprüfen durch den Vergleich der Wahrscheinlichkeit der Schnittmenge mit dem Produkt der einzelnen Wahrscheinlichkeiten:
130 +<br>
131 +Wenn {{formula}}P(A\cap I)=P(A)\cdot P(I){{/formula}}, dann wären beide Merkmale unabhängig voneinander (siehe Merkhilfe).
132 +<br>
133 +Es ist {{formula}}P(A\cap I)=0,0055{{/formula}}.
134 +<br>
135 +{{formula}}P(A)\cdot P(I)=0,055\cdot 0,0405=0,0022\neq 0,0055{{/formula}}
136 +<br>
137 +Da {{formula}}P(A\cap I)\neq P(A)\cdot P(I){{/formula}}, folgt die stochastische Abhängigkeit.
138 +{{/detail}}
139 +
122 122  === Teilaufgabe e) ===
123 123  {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
124 124  {{formula}}P((A\cap \overline{I})\cup (\overline{A} \cap I))=0,0495+0,035=0,0845{{/formula}}.
125 125  {{/detail}}
126 126  
145 +
146 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
147 +//Aufgabenstellung//
148 +<br><p>
149 +Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass entweder eine Allergie oder eine Irritation auftritt.
150 +</p>
151 +//Lösung//
152 +<br>
153 +Die Formulierung „entweder … oder …“ ist nicht zu verwechseln mit dem einfachen „oder“, bei dem der Additionssatz angewendet werden kann. Während beim Additionssatz die Schnittmenge {{formula}}A\cap I{{/formula}} einmal mitgezählt wird (und ihre Wahrscheinlichkeit einmal abgezogen wird, damit sie nicht fälschlicherweise doppelt gezählt wird), kommt die Schnittmenge {{formula}}A\cap I{{/formula}} bei „entweder … oder …“ überhaupt nicht vor.
154 +<br>
155 +[[image:Venndiagramm_e).png||width="550" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
156 +<br>
157 +Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Allergie, aber keine Irritation auftritt, addiert zur Wahrscheinlichkeit, dass eine Irritation, aber keine Allergie auftritt.
158 +<br>
159 +{{formula}}P((A\cap \overline{I})\cup (\overline{A} \cap I))=P(A\cap \overline{I})+ P(\overline{A} \cap I))=0,0495+0,035=0,0845{{/formula}}
160 +{{/detail}}
161 +
127 127  === Teilaufgabe f) ===
128 128  {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
129 129  {{formula}}A{{/formula}}: Allergie; {{formula}}I{{/formula}}: Irritation
... ... @@ -131,6 +131,21 @@
131 131  {{formula}}P_I (A)=\frac{P(A\cap I)}{P(I)}= \frac{0,0055}{0,0405}\approx 0,136{{/formula}}
132 132  {{/detail}}
133 133  
169 +
170 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
171 +//Aufgabenstellung//
172 +<br><p>
173 +Nachdem eine Testperson das Pflegeprodukt anwendet, tritt bei ihr eine Irritation auf. Ermittle, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie auch allergisch reagiert.
174 +</p>
175 +//Lösung//
176 +<br>
177 +{{formula}}A{{/formula}}: Allergie; {{formula}}I{{/formula}}: Irritation
178 +<br>
179 +Die Irritation ist schon aufgetreten; sie ist also die Bedingung.
180 +<br>
181 +{{formula}}P_I (A)=\frac{P(A\cap I)}{P(I)}= \frac{0,0055}{0,0405}\approx 0,136{{/formula}}
182 +{{/detail}}
183 +
134 134  === Teilaufgabe g) ===
135 135  {{detail summary="Erwartungshorizont(offiziell)"}}
136 136  Zufallsvariable {{formula}}G{{/formula}}: Gewinn bzw. Verlust für das Unternehmen
... ... @@ -147,3 +147,39 @@
147 147  <br>
148 148  Es dürfen höchstens etwa 17,3% der Kunden aus sonstigen Gründen die Rückerstattung beantragen, damit das Unternehmen sein Ziel erreicht.
149 149  {{/detail}}
200 +
201 +
202 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
203 +//Aufgabenstellung//
204 +<br><p>
205 +Das Unternehmen möchte einen durchschnittlichen Gewinn von mindestens 6,50€ pro Stück erwirtschaften.
206 +<br>
207 +Berechne, wie groß der Anteil aller Kunden höchstens sein darf, welche die Rückerstattung aus sonstigen Gründen beantragen.
208 +</p>
209 +//Lösung//
210 +<br>
211 +Zufallsvariable {{formula}}G{{/formula}}: Gewinn bzw. Verlust für das Unternehmen
212 +<br>
213 +{{formula}}a{{/formula}}: Anteil aller Kunden, die eine Rückerstattung aus sonstigen Gründen beantragen
214 +(% class="border" style="width:100%;text-align:center" %)
215 +|=(% style="background-color:#D3D3D3" %) |=(% style="background-color:#D3D3D3" %)keine Rückgabe|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aufgrund von Unverträglichkeit|=(% style="background-color:#D3D3D3" %)Rückgabe aus sonstigen Gründen
216 +|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}G_i{{/formula}}| {{formula}}9{{/formula}}|{{formula}}-0,5{{/formula}} |{{formula}}-0,5{{/formula}}
217 +|=(% style="background-color:#D3D3D3" %){{formula}}P(G=G_i){{/formula}}|{{formula}}0,91 -a{{/formula}} |{{formula}}0,09{{/formula}}|{{formula}}a{{/formula}}
218 +
219 +Der erwartete Gewinn soll 6,50 € sein. Aus der Formel für den Erwartungswert (siehe Merkhilfe) ergibt sich eine Gleichung für {{formula}}a{{/formula}}.
220 +<br>
221 +{{formula}}\mu =\sum\limits_{i=1}^n P(X=x_i)\cdot x_i =P(X=x_1 )\cdot x_1+P(X=x_2 )\cdot x_2+\dots+P(X=x_n )\cdot x_n{{/formula}}
222 +<br>
223 +{{formula}}\mu=(0,91-a)\cdot 9+ 0,09\cdot (-0,5) + a \cdot (-0,5){{/formula}}
224 +<br>
225 +{{formula}}\mu=6,50{{/formula}}
226 +<br>
227 +{{formula}}(0,91-a)\cdot 9- 0,09\cdot 0,5 -0,5a=6,5{{/formula}}
228 +<br>
229 +Diese Gleichung kann nach dem gesuchten Wert für {{formula}}a{{/formula}} aufgelöst werden.
230 +<br>
231 +{{formula}}(0,91-a)\cdot 9-0,09\cdot 0,5-0,5a=6,5 \ \Leftrightarrow \ a\approx 0,173{{/formula}}
232 +
233 +<br>
234 +Es dürfen höchstens etwa 17,3% der Kunden aus sonstigen Gründen die Rückerstattung beantragen, damit das Unternehmen sein Ziel erreicht.
235 +{{/detail}}