Lösung Analysis Aufgabe 2
Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/25 17:07
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
In der Abbildung ist bei Untersuchung der Flächenstücke unterhalb und oberhalb des Graphen erkennbar:\(\int_0^9 w(t)\mathrm dt > 0\)
Damit fließt im betrachteten Zeitraum mehr Wasser zu als ab.
Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungBegründe, dass neun Stunden nach Beginn der Beobachtung mehr Wasser im Tank ist als zu Beginn.
LösungAus der Abbildung ist zu erkennen, dass die Flächenanteile des Graphen oberhalb der \(t\)-Achse (etwa 17,5 Kästchen) größer sind als die Flächenanteile unterhalb der \(t\)-Achse (etwa 5 Kästchen).
Damit gilt:
\(\int_0^9 w(t)\mathrm dt > 0\).
Folglich fließt im betrachteten Zeitraum insgesamt mehr Wasser zu als ab und es befindet sich neun Stunden nach Beginn mehr Wasser im Tank als zu Beginn.
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
Periodenlänge: \(16\), Tiefpunkt bei \((1\mid -1)\), Amplitude: \(2\)z.B.: \(w(t)=-2\cdot \cos\left(\frac{2\pi}{16}(t-1)\right)+1 =-2\cdot \cos \left(\frac{\pi}{8}(t-1)\right)+1\)
Erläuterung der Lösung
AufgabenstellungDie Funktion \( w \) ist eine trigonometrische Funktion. Ermittle einen möglichen Funktionsterm dieser Funktion.
LösungDer allgemeine Ansatz zum Aufstellen trigonometrischer Funktionsterme lautet \(w(t)=a\cdot \cos(b\cdot (t-c))+d\) (bzw. \(w(t)=a\cdot \sin(b\cdot (t-c))+d\)) Aus dem Graphen lassen sich folgende Eigenschaften ablesen:
Die Periodenlänge \(p\) beträgt \(16\). Somit ist \(b=\frac{2\pi}{p}=\frac{2\pi}{16}=\frac{\pi}{8}\).
Der Tiefpunkt liegt bei \((1\mid -1)\) und der Hochpunkt bei \((9\mid 3)\).
Die Amplitude ist somit gegeben durch \(a=\frac{3-(-1)}{2}=2\).
Die Verschiebung in y-Richtung beträgt \(d=\frac{3+(-1)}{2}=1\).
Gehen wir von einer Kosinusfunktion aus, so ist die Phasenverschiebung \(c\) gegeben durch \(c=1\). Zudem ist die Funktion an der \(t\)-Achse gespiegelt. Ein passender Funktionsterm wäre somit:
\(w(t)=-2\cdot \cos\left(\frac{\pi}{8}(t-1)\right)+1\).