Lösung Lineare Algebra 5_4
Zuletzt geändert von akukin am 2026/02/16 14:00
Erwartungshorizont
\(\begin{align*} &\text{(1)} \ x + y + z = 12 \\ &\text{(2)} \ 5x + 10y + 20z = 150 \\ \end{align*}\)
\(\text{(2)} - 5\cdot \text{(1)}:\quad 5y + 15z = 90 \ \Leftrightarrow \ y + 3z = 18\)
Da \(x, y\) und \(z\) nur natürliche Werte annehmen können, erhält man damit die Lösungsmenge \(L = \{(0;9;3), (2;6;4), (4;3;5), (6;0;6)\}\)Erläuterung der Lösung
\(\begin{align*} &\text{(1)} \ x + y + z = 12 \\ &\text{(2)} \ 5x + 10y + 20z = 150 \\ \end{align*}\)
\(\text{(2)} - 5\cdot \text{(1)}:\quad 5y + 15z = 90\)
Die erhaltene Gleichung lässt sich umstellen zu\(\begin{align*} & & 5y + 15z &= 90 && \mid :5\\ \Leftrightarrow & \quad & y+3z &= 18 && \mid -3z \\ \Leftrightarrow & \quad & y &= 18-3z \end{align*}\)
Da \(y\) nur natürliche Werte annehmen kann, gilt \(y \geq 0\). Das heißt, es gilt:
\(\begin{align*} & & 0 &\leq 18-3z && \mid +3z\\ \Leftrightarrow & \quad & 3z &\leq 18 && \mid :3\\ \Leftrightarrow & \quad & z &\leq 6 \end{align*}\)
Aus der ersten Gleichung des LGS erhalten wir, indem wir \(y = 18-3z\) einsetzen:\(\begin{align*} & & x + 18-3z + z &= 12 && \mid -18 \\ \Leftrightarrow & \quad & x - 2z &= -6 && \mid +2z\\ \Leftrightarrow & \quad & x &= -6 +2z \end{align*}\)
Die Bedingung \(x\geq 0\) führt zu:
\(\begin{align*} & & 0 &\leq -6 +2z && \mid +6 \\ \Leftrightarrow & \quad & 6 &\leq 2z && \mid :2 \\ \Leftrightarrow & \quad & 3 &\leq z \end{align*}\)
Insgesamt wissen wir also, dass \(3\leq z \leq 6\) gelten muss. Das heißt, wir setzen alle möglichen Werte für \(z\) ein, um die einzelnen Lösungspunkte zu erhalten:
\(z=3: y= 18 - 3\cdot 3= 9 \implies x+9+3= 12 \Leftrightarrow x=0 \)
\(z=4: y= 18 - 3\cdot 4= 6 \implies x+6+4= 12 \Leftrightarrow x=2 \)
\(z=5: y= 18 - 3\cdot 5= 3 \implies x+3+5= 12 \Leftrightarrow x=4 \)
\(z=6: y= 18 - 3\cdot 6= 0 \implies x+0+6= 12 \Leftrightarrow x=6 \)
Es ergibt sich also die Lösungsmenge \(L = \{(0;9;3), (2;6;4), (4;3;5), (6;0;6)\}\)