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Lösung Analysis - Lehrerauswahl I

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/21 21:00

Teilaufgabe a)

Erwartungshorizont Ansatz: \(g(x) = ax^2 + bx + c; \ g^\prime(x) = 2ax + b\)
\(g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1\)
\(g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}\)
\(g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3},\) also \(g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1\)
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Bestimme eine Gleichung der Funktion \( g \).

Lösung
Der allgemeine Ansatz zum Aufstellen einer quadratischen Funktion lautet:
\(g(x) = ax^2 + bx + c\)

Zur Bestimmung der Parameter \(a,b\) und \(c\) nutzen wir die im Text gegebenen Informationen:
  • Schnittpunkt \(S_y(0|1)\): \(g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1\)
  • Steigung \(-\frac{4}{3}\) im Punkt \(S_y(0|1)\): \(g^\prime(x) = 2ax + b; \quad g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}\)
  • Tiefpunkt an der Stelle \(x=2\): \(g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}\)

Insgesamt erhalten wir somit \(g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1\)

Teilaufgabe b)

Erwartungshorizont b.png
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Zeichne \( K_{g} \) im Bereich \( -2\le x\le 6 \).

Lösung
Wir lassen uns von unserem Taschenrechner eine Wertetabelle ausgeben und erstellen mit Hilfe dieser den Graphen:
b.png

Teilaufgabe c)

Erwartungshorizont

Nullstellen: \(g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3\)

\(\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x = \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 = -\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ A = \frac{4}{9}\)
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Berechne den Inhalt der Fläche, die \( K_{g} \) mit der x-Achse einschließt.

Lösung
Aus der vorherigen Teilaufgabe sollten uns bereits die beiden Nullstellen der Funktion \(g\) bekannt sein: \(g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3\)

Die Fläche, die \( K_{g} \) mit der x-Achse einschließt, erhalten wir durch Integration zwischen den beiden Nullstellen:
\(\begin{align*} \int_1^3 g(x) \mathrm{d}x &= \int_1^3 \left(\frac{1}{3}x^2-\frac{4}{3}x+1\right) \mathrm{d}x \\ &= \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 \\ &= \frac{1}{9}\cdot 3^3 - \frac{2}{3} \cdot 3^2 + 3 -\left(\frac{1}{9}\cdot 1^3 - \frac{2}{3} \cdot 1^2 + 1\right) \\ &=3-6+3-\left(\frac{1}{9}- \frac{2}{3} + 1\right) \\ &=0 -\frac{4}{9}= -\frac{4}{9} \end{align*}\)

Somit ergibt sich ein Flächeninhalt von \(A=\left|\int_1^3 g(x) \mathrm{d}x \right|=\left| -\frac{4}{9} \right|\ \text{FE}=\frac{4}{9} \ \text{FE}\).

Teilaufgabe d)

Erwartungshorizont \(\begin{align*} F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\ &= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x) \end{align*}\)
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Zeige, dass \( F \) eine Stammfunktion von \( f \) ist.

Lösung
Mittels Produktregel bestimmen wir die Ableitung der Funktion \(F\):
\(\begin{align*} F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\ &= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x) \end{align*}\)
Da \(F'(x)=f(x)\) gilt, ist \(F\) eine Stammfunktion von \(f\).

Teilaufgabe e)

Erwartungshorizont (1) Die Aussage ist falsch. \(K_{F}\) besitzt im Intervall \([-2;3]\) zwei Wendepunkte und somit \(K_{f}\) zwei Extrempunkte.
(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an \(K_F\) an der Stelle \(x=2{,}5\) hat eine Steigung von ungefähr \(−3\).
(3) Die Aussage ist wahr. \(K_F\) ist für \(x=1{,}5\) rechtsgekrümmt.
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen \( K_{F} \) der Funktion \( F \). Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von \( K_{F}\).
(1) \( K_{f} \) schneidet die x-Achse im Intervall \([-2;2]\) einmal.
(2) Es gilt: \( F^{\prime}(2,5)=-1 \).
(3) Es gilt: \( f^{\prime}(1,5)<0 \).

Lösung
(1) Die Aussage ist falsch. Man sieht, dass \(K_{F}\) im Intervall \([-2;3]\) zwei Wendepunkte besitzt (bei \(x\approx 2,4\) und \(x\approx -0,4\)). Somit besitzt \(K_{f}\) zwei Extrempunkte.
(2) Wir bestimmen die Steigung an der Stelle \(x=2{,}5\) indem wir mit unserem Geodreieck eine Tangente an \(K_F\) anlegen. Da die Steigung der Tangenten ungefähr \(-3\) beträgt, ist die Aussage falsch.
(3) Die Aussage ist wahr. \(K_F\) ist für \(x=1{,}5\) rechtsgekrümmt. Somit ist \(F^{\prime\prime}(1,5)=f^\prime(1,5)<0\).

Teilaufgabe f)

Erwartungshorizont Aussage (1):

Wird der Graph zuerst nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt, hat die entstehende Funktion die Nullstellen −4 und −2. Wird zuerst an der y-Achse gespiegelt und dann verschoben, erhält man die Nullstellen −2 und 0. Es entstehen also unterschiedliche Graphen.

Aussage (2):
Erläuterung der Lösung Aufgabenstellung

Der Graph der Funktion \( h \) entsteht, indem \( K_{f} \) zuerst um 1 nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt wird.

Begründe, dass die folgenden Aussagen korrekt sind:
(1) Die Reihenfolge der beiden Transformationen spielt eine Rolle.
(2) Es gilt \( f(1)=0 \). Damit ist \( h(-2)=0 \).

Lösung
Aussage (1):
Wir betrachten im folgenden die Nullstelle \(x=1\) von \(f(x)\).

Zuerst Verschieben, dann Spiegeln:
Durch das Verschieben um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle um 1 nach rechts. Das heißt, die Nullstelle wird zu \(x=2\). Spiegeln wir anschließend den Graphen an der y-Achse, so wird die Nullstelle zu \(x=-2\).

Zuerst Spiegeln, dann Verschieben:
Durch das Spiegeln wird die Nullstelle zu \(x=-1\). Verschieben wir anschließend den Graphen um 1 nach rechts, so erhalten wir die Nullstelle \(x=0\).

Da die Nullstellen nicht übereinstimmen, spielt die Reihenfolge der beiden Transformationen eine Rolle.

Aussage (2):