Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra
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| author | version | line-number | content |
|---|---|---|---|
 |
1.1 | 1 | === Teilaufgabe a) === |
| 2 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 3 | {{formula}} | ||
| |
3.1 | 4 | \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},\ |
| 5 | \overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix} | ||
| |
1.1 | 6 | {{/formula}}, also ist {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm. |
| 7 | {{/detail}} | ||
| 8 | |||
| 9 | |||
| 10 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 11 | //Aufgabenstellung// | ||
| 12 | <br><p> | ||
| |
5.1 | 13 | Zeige, dass das Viereck {{formula}} ABCD {{/formula}} ein Parallelogramm ist. |
| |
1.1 | 14 | </p> |
| 15 | //Lösung// | ||
| 16 | <br> | ||
| |
5.1 | 17 | Um zu zeigen, dass das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm ist, müssen wir prüfen, ob zwei sich gegenüberliegende Verbindungsvektoren identisch sind: |
| 18 | <br> | ||
| 19 | {{formula}} | ||
| 20 | \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1-(-3)\\-2-(-2)\\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}, | ||
| 21 | {{/formula}} | ||
| 22 | <br> | ||
| 23 | {{formula}} | ||
| 24 | \overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}9-5\\6-6\\7-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix} | ||
| 25 | {{/formula}} | ||
| 26 | <br> | ||
| 27 | Da {{formula}}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}{{/formula}} gilt, ist das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm. | ||
| 28 | <p></p> | ||
| 29 | //Alternativ kann man auch zeigen, dass {{formula}}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}{{/formula}} gilt.// | ||
| |
1.1 | 30 | {{/detail}} |
| 31 | |||
| 32 | === Teilaufgabe b) === | ||
| 33 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 34 | [[image:Lösungb).png||width="300"]] | ||
| 35 | {{/detail}} | ||
| 36 | |||
| 37 | |||
| 38 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 39 | //Aufgabenstellung// | ||
| 40 | <br><p> | ||
| |
5.1 | 41 | Zeichne das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} in ein dreidimensionales Koordinatensystem. |
| |
1.1 | 42 | </p> |
| 43 | //Lösung// | ||
| 44 | <br> | ||
| |
5.1 | 45 | Beachte beim Zeichnen, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht. |
| 46 | [[image:Lösungb).png||width="300"]] | ||
| |
1.1 | 47 | {{/detail}} |
| 48 | |||
| 49 | === Teilaufgabe c) === | ||
| 50 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| |
5.1 | 51 | Ebene durch {{formula}}ABC{{/formula}}: |
| |
1.1 | 52 | {{formula}} |
| |
4.1 | 53 | \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R} |
| |
1.1 | 54 | {{/formula}} |
| 55 | <br> | ||
| 56 | {{formula}} | ||
| 57 | \vec{x}= | ||
| 58 | \begin{pmatrix}-3\\-2\\5\end{pmatrix} | ||
| 59 | +s\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix} | ||
| 60 | +t\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix} | ||
| 61 | {{/formula}} | ||
| 62 | |||
| 63 | <br> | ||
| 64 | |||
| 65 | Schnittpunkt mit der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse: {{formula}}x_1=x_2=0{{/formula}} | ||
| 66 | <br> | ||
| 67 | Das LGS | ||
| 68 | <br> | ||
| 69 | {{formula}} | ||
| 70 | \begin{align*} | ||
| 71 | (1) \ 0 &=-3+4s+8t\\ | ||
| 72 | (2) \ 0 &=-2 \qquad \ +8t | ||
| 73 | \end{align*} | ||
| 74 | {{/formula}} | ||
| 75 | <br> | ||
| 76 | hat die Lösung | ||
| 77 | {{formula}} | ||
| 78 | s=t=\frac{1}{4} | ||
| |
4.1 | 79 | {{/formula}}. |
| 80 | <br> | ||
| |
1.1 | 81 | Wegen {{formula}}0<s<1{{/formula}} und {{formula}}0<t<1{{/formula}} liegt der Schnittpunkt der Ebene und der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse im Parallelogramm. |
| 82 | {{/detail}} | ||
| 83 | |||
| 84 | |||
| 85 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 86 | //Aufgabenstellung// | ||
| 87 | <br><p> | ||
| |
5.1 | 88 | Weise nach, dass die {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} schneidet. |
| |
1.1 | 89 | </p> |
| 90 | //Lösung// | ||
| 91 | <br> | ||
| |
5.1 | 92 | Um nachzuweisen, dass die {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse das Parallelogramm schneidet, stellen wir zunächst Parametergleichung der Ebene mit den Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OA}{{/formula}} und den Richtungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} auf: |
| 93 | <br> | ||
| 94 | {{formula}} | ||
| 95 | \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R} | ||
| 96 | {{/formula}} | ||
| 97 | <br> | ||
| 98 | {{formula}} | ||
| 99 | \vec{x}= | ||
| 100 | \begin{pmatrix}-3\\-2\\5\end{pmatrix} | ||
| 101 | +s\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix} | ||
| 102 | +t\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix} | ||
| 103 | {{/formula}} | ||
| 104 | |||
| 105 | <p></p> | ||
| 106 | |||
| 107 | Wir erhalten den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse, indem wir {{formula}}x_1=x_2=0{{/formula}} setzen, was zu folgendem LGS führt: | ||
| 108 | <br> | ||
| 109 | {{formula}} | ||
| 110 | \begin{align*} | ||
| 111 | (1) \ 0 &=-3+4s+8t\\ | ||
| 112 | (2) \ 0 &=-2 \qquad \ +8t | ||
| 113 | \end{align*} | ||
| 114 | {{/formula}} | ||
| 115 | <br> | ||
| 116 | Aus Gleichung {{formula}}(2){{/formula}} erhalten wir | ||
| 117 | <br> | ||
| 118 | {{formula}} 0=-2+8t \ \Leftrightarrow \ 2=8t \ \Leftrightarrow \ t=\frac{1}{4}{{/formula}} | ||
| 119 | <br> | ||
| 120 | Einsetzen von {{formula}} t=\frac{1}{4}{{/formula}} in Gleichung {{formula}}(1){{/formula}} liefert | ||
| 121 | <br> | ||
| 122 | {{formula}}0=-3+4s+8\cdot \frac{1}{4}=-1+4s \ \Leftrightarrow \ 1=4s \ \Leftrightarrow \ s=\frac{1}{4}{{/formula}} | ||
| 123 | <p></p> | ||
| 124 | Das LGS hat somit die Lösung | ||
| 125 | {{formula}} | ||
| 126 | s=t=\frac{1}{4} | ||
| 127 | {{/formula}}. | ||
| 128 | <br> | ||
| 129 | Wegen {{formula}}0<s<1{{/formula}} und {{formula}}0<t<1{{/formula}} liegt der Schnittpunkt der Ebene und der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse im Parallelogramm. | ||
| |
1.1 | 130 | {{/detail}} |
| 131 | |||
| 132 | === Teilaufgabe d) === | ||
| 133 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| 134 | Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt: | ||
| 135 | <br> | ||
| 136 | {{formula}} | ||
| |
4.1 | 137 | \vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD} |
| |
1.1 | 138 | =\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix} |
| 139 | =\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix} | ||
| 140 | =16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix} | ||
| 141 | {{/formula}} | ||
| 142 | <br> | ||
| 143 | |||
| 144 | {{formula}} | ||
| 145 | \cos(\alpha)=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot | ||
| 146 | \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot 1} | ||
| 147 | =\frac{2}{3} \Rightarrow | ||
| 148 | \alpha\approx48{,}2^\circ | ||
| 149 | {{/formula}} | ||
| 150 | {{/detail}} | ||
| 151 | |||
| 152 | |||
| 153 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 154 | //Aufgabenstellung// | ||
| 155 | <br><p> | ||
| |
5.1 | 156 | Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} verläuft parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}. |
| 157 | Die Gerade {{formula}} h {{/formula}} verläuft senkrecht zum Parallelogramm durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}. | ||
| 158 | <br> | ||
| 159 | Berechne den Winkel, unter dem sich die beiden Geraden schneiden. | ||
| |
1.1 | 160 | </p> |
| 161 | //Lösung// | ||
| 162 | <br> | ||
| |
5.1 | 163 | Da die Gerade {{formula}} g {{/formula}} parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse verläuft, ist der Richtungsvektor der Geraden gegeben durch {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} {{/formula}}. |
| 164 | <br> | ||
| 165 | Da {{formula}}h{{/formula}} senkrecht zum Parallelogramm verläuft, entspricht der Richtungsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt. Diesen berechnen wir durch | ||
| 166 | <br> | ||
| 167 | {{formula}} | ||
| 168 | \vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD} | ||
| 169 | =\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix} | ||
| 170 | =\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix} | ||
| 171 | =16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix} | ||
| 172 | {{/formula}} | ||
| 173 | <br> | ||
| 174 | Nun berechnen wir mit der Formel aus der Merkhilfe den Winkel zwischen den beiden Geraden: | ||
| 175 | <br> | ||
| 176 | {{formula}} | ||
| 177 | \begin{align*} | ||
| 178 | \cos(\alpha) &=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot | ||
| 179 | \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|} | ||
| 180 | =\frac{|1\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}} | ||
| 181 | =\frac{|2|}{\sqrt{9}\cdot 1} | ||
| 182 | =\frac{2}{3} \\ | ||
| 183 | \Rightarrow | ||
| 184 | \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\approx48{,}2^\circ | ||
| 185 | \end{align*} | ||
| 186 | {{/formula}} | ||
| |
1.1 | 187 | {{/detail}} |
| 188 | |||
| 189 | === Teilaufgabe e) === | ||
| 190 | {{detail summary="Erwartungshorizont"}} | ||
| |
4.1 | 191 | Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme. |
| |
1.1 | 192 | <p></p> |
| 193 | Die Grundseiten dieser beiden Parallelogramme sind gleich lang. Deshalb | ||
| 194 | entspricht das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen. Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man, | ||
| 195 | dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BF{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird. | ||
| 196 | <p></p> | ||
| 197 | Somit erhält man z. B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}: | ||
| 198 | <br> | ||
| 199 | {{formula}} | ||
| 200 | \vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC} | ||
| 201 | =\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix} | ||
| 202 | +\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix} | ||
| |
4.1 | 203 | =\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix}, \ |
| |
1.1 | 204 | G\left(\frac{11}{3}\bigl|\frac{2}{3}\bigl|\frac{13}{3}\right) |
| 205 | {{/formula}} | ||
| 206 | <p></p> | ||
| 207 | Bemerkung: Der Ansatz {{formula}} | ||
| 208 | \vec{g}=\vec{b}+\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{BC}{{/formula}} führt auf {{formula}} | ||
| 209 | G\left(\frac{19}{3}\bigl|\frac{10}{3}\bigl|\frac{17}{3}\right) | ||
| 210 | {{/formula}} | ||
| 211 | {{/detail}} | ||
| 212 | |||
| 213 | |||
| 214 | {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} | ||
| 215 | //Aufgabenstellung// | ||
| 216 | <br><p> | ||
| |
5.1 | 217 | Eine Ebene {{formula}} F {{/formula}} ist parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene und teilt das Parallelogramm in zwei Teilflächen. |
| 218 | * Begründe, dass es sich bei beiden Teilflächen wieder um Parallelogramme handelt. | ||
| 219 | * Das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen beträgt 1 : 2. | ||
| 220 | <br> | ||
| 221 | Ermittle die Koordinaten des Schnittpunktes der Ebene {{formula}} F {{/formula}} mit der Seite {{formula}} BC {{/formula}}. Begründe dein Vorgehen. | ||
| |
1.1 | 222 | </p> |
| 223 | //Lösung// | ||
| 224 | <br> | ||
| 225 | {{/detail}} | ||
| 226 | |||
| 227 |