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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra

Version 5.1 von Anna Kukin am 2026/02/02 19:52
Verstecke letzte Bearbeiter
Anna Kukin 1.1 1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 {{formula}}
Anna Kukin 3.1 4 \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},\
5 \overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
Anna Kukin 1.1 6 {{/formula}}, also ist {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm.
7 {{/detail}}
8
9
10 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
11 //Aufgabenstellung//
12 <br><p>
Anna Kukin 5.1 13 Zeige, dass das Viereck {{formula}} ABCD {{/formula}} ein Parallelogramm ist.
Anna Kukin 1.1 14 </p>
15 //Lösung//
16 <br>
Anna Kukin 5.1 17 Um zu zeigen, dass das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm ist, müssen wir prüfen, ob zwei sich gegenüberliegende Verbindungsvektoren identisch sind:
18 <br>
19 {{formula}}
20 \overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}1-(-3)\\-2-(-2)\\3-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix},
21 {{/formula}}
22 <br>
23 {{formula}}
24 \overrightarrow{DC}=\begin{pmatrix}9-5\\6-6\\7-9\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
25 {{/formula}}
26 <br>
27 Da {{formula}}\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}{{/formula}} gilt, ist das Viereck {{formula}}ABCD{{/formula}} ein Parallelogramm.
28 <p></p>
29 //Alternativ kann man auch zeigen, dass {{formula}}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}{{/formula}} gilt.//
Anna Kukin 1.1 30 {{/detail}}
31
32 === Teilaufgabe b) ===
33 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
34 [[image:Lösungb).png||width="300"]]
35 {{/detail}}
36
37
38 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
39 //Aufgabenstellung//
40 <br><p>
Anna Kukin 5.1 41 Zeichne das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} in ein dreidimensionales Koordinatensystem.
Anna Kukin 1.1 42 </p>
43 //Lösung//
44 <br>
Anna Kukin 5.1 45 Beachte beim Zeichnen, dass die {{formula}}x_1{{/formula}}-Achse in einem 45°- bzw. 135°-Winkel gezeichnet wird und dass in diese Richtung die Diagonale eines kleinen Kästchens einer Längeneinheit entspricht.
46 [[image:Lösungb).png||width="300"]]
Anna Kukin 1.1 47 {{/detail}}
48
49 === Teilaufgabe c) ===
50 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
Anna Kukin 5.1 51 Ebene durch {{formula}}ABC{{/formula}}:
Anna Kukin 1.1 52 {{formula}}
Anna Kukin 4.1 53 \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
Anna Kukin 1.1 54 {{/formula}}
55 <br>
56 {{formula}}
57 \vec{x}=
58 \begin{pmatrix}-3\\-2\\5\end{pmatrix}
59 +s\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
60 +t\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
61 {{/formula}}
62
63 <br>
64
65 Schnittpunkt mit der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse: {{formula}}x_1=x_2=0{{/formula}}
66 <br>
67 Das LGS
68 <br>
69 {{formula}}
70 \begin{align*}
71 (1) \ 0 &=-3+4s+8t\\
72 (2) \ 0 &=-2 \qquad \ +8t
73 \end{align*}
74 {{/formula}}
75 <br>
76 hat die Lösung
77 {{formula}}
78 s=t=\frac{1}{4}
Anna Kukin 4.1 79 {{/formula}}.
80 <br>
Anna Kukin 1.1 81 Wegen {{formula}}0<s<1{{/formula}} und {{formula}}0<t<1{{/formula}} liegt der Schnittpunkt der Ebene und der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse im Parallelogramm.
82 {{/detail}}
83
84
85 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
86 //Aufgabenstellung//
87 <br><p>
Anna Kukin 5.1 88 Weise nach, dass die {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse das Parallelogramm {{formula}} ABCD {{/formula}} schneidet.
Anna Kukin 1.1 89 </p>
90 //Lösung//
91 <br>
Anna Kukin 5.1 92 Um nachzuweisen, dass die {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse das Parallelogramm schneidet, stellen wir zunächst Parametergleichung der Ebene mit den Stützvektor {{formula}}\overrightarrow{OA}{{/formula}} und den Richtungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und {{formula}}\overrightarrow{AD}{{/formula}} auf:
93 <br>
94 {{formula}}
95 \vec{x}=\overrightarrow{OA}+s\cdot\overrightarrow{AB}+t\cdot\overrightarrow{AD};\quad s,t\in\mathbb{R}
96 {{/formula}}
97 <br>
98 {{formula}}
99 \vec{x}=
100 \begin{pmatrix}-3\\-2\\5\end{pmatrix}
101 +s\cdot \begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}
102 +t\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
103 {{/formula}}
104
105 <p></p>
106
107 Wir erhalten den Schnittpunkt mit der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse, indem wir {{formula}}x_1=x_2=0{{/formula}} setzen, was zu folgendem LGS führt:
108 <br>
109 {{formula}}
110 \begin{align*}
111 (1) \ 0 &=-3+4s+8t\\
112 (2) \ 0 &=-2 \qquad \ +8t
113 \end{align*}
114 {{/formula}}
115 <br>
116 Aus Gleichung {{formula}}(2){{/formula}} erhalten wir
117 <br>
118 {{formula}} 0=-2+8t \ \Leftrightarrow \ 2=8t \ \Leftrightarrow \ t=\frac{1}{4}{{/formula}}
119 <br>
120 Einsetzen von {{formula}} t=\frac{1}{4}{{/formula}} in Gleichung {{formula}}(1){{/formula}} liefert
121 <br>
122 {{formula}}0=-3+4s+8\cdot \frac{1}{4}=-1+4s \ \Leftrightarrow \ 1=4s \ \Leftrightarrow \ s=\frac{1}{4}{{/formula}}
123 <p></p>
124 Das LGS hat somit die Lösung
125 {{formula}}
126 s=t=\frac{1}{4}
127 {{/formula}}.
128 <br>
129 Wegen {{formula}}0<s<1{{/formula}} und {{formula}}0<t<1{{/formula}} liegt der Schnittpunkt der Ebene und der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse im Parallelogramm.
Anna Kukin 1.1 130 {{/detail}}
131
132 === Teilaufgabe d) ===
133 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
134 Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt:
135 <br>
136 {{formula}}
Anna Kukin 4.1 137 \vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
Anna Kukin 1.1 138 =\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
139 =\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix}
140 =16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
141 {{/formula}}
142 <br>
143
144 {{formula}}
145 \cos(\alpha)=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot
146 \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot 1}
147 =\frac{2}{3} \Rightarrow
148 \alpha\approx48{,}2^\circ
149 {{/formula}}
150 {{/detail}}
151
152
153 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
154 //Aufgabenstellung//
155 <br><p>
Anna Kukin 5.1 156 Die Gerade {{formula}} g {{/formula}} verläuft parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}.
157 Die Gerade {{formula}} h {{/formula}} verläuft senkrecht zum Parallelogramm durch Punkt {{formula}} C {{/formula}}.
158 <br>
159 Berechne den Winkel, unter dem sich die beiden Geraden schneiden.
Anna Kukin 1.1 160 </p>
161 //Lösung//
162 <br>
Anna Kukin 5.1 163 Da die Gerade {{formula}} g {{/formula}} parallel zur {{formula}} x_{3} {{/formula}}-Achse verläuft, ist der Richtungsvektor der Geraden gegeben durch {{formula}}\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} {{/formula}}.
164 <br>
165 Da {{formula}}h{{/formula}} senkrecht zum Parallelogramm verläuft, entspricht der Richtungsvektor der Geraden dem Normalenvektor der Ebene, in der das Parallelogramm liegt. Diesen berechnen wir durch
166 <br>
167 {{formula}}
168 \vec{n}=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}
169 =\begin{pmatrix}4\\0\\-2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
170 =\begin{pmatrix}16\\-32\\32\end{pmatrix}
171 =16\cdot \begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}
172 {{/formula}}
173 <br>
174 Nun berechnen wir mit der Formel aus der Merkhilfe den Winkel zwischen den beiden Geraden:
175 <br>
176 {{formula}}
177 \begin{align*}
178 \cos(\alpha) &=\frac{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\cdot
179 \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}{\left|\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}\right|\cdot \left|\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right|}
180 =\frac{|1\cdot 0+(-2)\cdot 0+2\cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-2)^2+^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}
181 =\frac{|2|}{\sqrt{9}\cdot 1}
182 =\frac{2}{3} \\
183 \Rightarrow
184 \alpha &=\cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)\approx48{,}2^\circ
185 \end{align*}
186 {{/formula}}
Anna Kukin 1.1 187 {{/detail}}
188
189 === Teilaufgabe e) ===
190 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
Anna Kukin 4.1 191 Die Seiten {{formula}}AB{{/formula}} bzw. {{formula}}CD{{/formula}} sind parallel zur {{formula}}x_1x_3{{/formula}}-Ebene, da die Verbindungsvektoren {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} bzw. {{formula}}\overrightarrow{CD}{{/formula}} die {{formula}}x_2{{/formula}} -Koordinate 0 haben. Somit sind die beiden entstehenden Teilflächen wieder Parallelogramme.
Anna Kukin 1.1 192 <p></p>
193 Die Grundseiten dieser beiden Parallelogramme sind gleich lang. Deshalb
194 entspricht das Verhältnis der Flächeninhalte der Parallelogramme dem Verhältnis der zugehörigen Höhen. Mithilfe des Strahlensatzes erkennt man,
195 dass dies auch das Verhältnis ist, in dem die Seite {{formula}}BF{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} geteilt wird.
196 <p></p>
197 Somit erhält man z. B. für den Schnittpunkt {{formula}}G{{/formula}} von {{formula}}F{{/formula}} und {{formula}}BC{{/formula}}:
198 <br>
199 {{formula}}
200 \vec{g}=\vec{b}+\frac{1}{3}\cdot\overrightarrow{BC}
201 =\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}
202 +\frac{1}{3}\cdot \begin{pmatrix}8\\8\\4\end{pmatrix}
Anna Kukin 4.1 203 =\frac13\cdot \begin{pmatrix}11\\2\\13\end{pmatrix}, \
Anna Kukin 1.1 204 G\left(\frac{11}{3}\bigl|\frac{2}{3}\bigl|\frac{13}{3}\right)
205 {{/formula}}
206 <p></p>
207 Bemerkung: Der Ansatz {{formula}}
208 \vec{g}=\vec{b}+\frac{2}{3}\cdot\overrightarrow{BC}{{/formula}} führt auf {{formula}}
209 G\left(\frac{19}{3}\bigl|\frac{10}{3}\bigl|\frac{17}{3}\right)
210 {{/formula}}
211 {{/detail}}
212
213
214 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
215 //Aufgabenstellung//
216 <br><p>
Anna Kukin 5.1 217 Eine Ebene {{formula}} F {{/formula}} ist parallel zur {{formula}} x_{1}x_{3} {{/formula}}-Ebene und teilt das Parallelogramm in zwei Teilflächen.
218 * Begründe, dass es sich bei beiden Teilflächen wieder um Parallelogramme handelt.
219 * Das Verhältnis der Flächeninhalte dieser beiden Teilflächen beträgt 1 : 2.
220 <br>
221 Ermittle die Koordinaten des Schnittpunktes der Ebene {{formula}} F {{/formula}} mit der Seite {{formula}} BC {{/formula}}. Begründe dein Vorgehen.
Anna Kukin 1.1 222 </p>
223 //Lösung//
224 <br>
225 {{/detail}}
226
227