2025 eAN - Teil B - Lineare Algebra - Aufgabensatz II

Aufgabe 1  Lineare Algebra

Ein Kirchturm hat einen quadratischen Grundriss. In einer gewissen Höhe geht der Kirchturm in ein achteckiges Prisma über. Das Dach hat die Form einer achteckigen Pyramide.
Der obere Teil des Kirchturms ist in der Abbildung dargestellt. Der quadratische Grundriss des Turms hat eine Seitenlänge von 6 Metern. 

Die Punkte \( A_{1}(3|3|0) \), \( A_{2}(-3|3|0), \dots \) liegen in der \( x_{1}x_{2} \)-Ebene. Folgende weitere Punkte sind gegeben:
\( B_{1}(3|3|2), B_{2}(-3|3|2) \)
\( C_{1}(3|1|4), C_{2}(1|3|4), C_{3}(-1|3|4) \)
\( D_{1}(3|1|8), D_{2}(1|3|8), D_{3}(-1|3|8) \)
Alle Punkte \( B\dots \) haben die \( x_{3} \)-Koordinate 2. Alle Punkte \( C\dots\) haben die \( x_{3} \)-Koordinate 4.
Alle Punkte \( D\dots\) haben die \( x_{3} \)-Koordinate 8. Eine Längeneinheit entspricht 1 Meter. 

1. [5 BE] Zeichne das Quadrat \( A_{1}A_{2}A_{3}A_{4} \) in ein zweidimensionales \( x_{1}x_{2} \)-Koordinatensystem ein.
   Zeichne in dasselbe Koordinatensystem die orthogonalen Projektionen der Punkte \( C_{1} \) und \( C_{2} \) ein.
2. [5 BE] Zeige, dass das Dreieck \( C_{1}B_{1}C_{2} \) gleichseitig ist. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks \( C_{1}B_{1}C_{2} \).

Die Spitze \( S \) liegt auf der \( x_{3} \)-Achse. 

3. Vier der acht Dreiecksflächen des Daches sind parallel zu den jeweils unterhalb liegenden Dreiecksflächen.
   Ermittle die Koordinaten der Spitze \( S \). 
4. [3 BE] Der Mittelpunkt der Strecke \( D_{1}D_{2} \) ist \( M \). Der Mittelpunkt der Strecke \( D_{2}D_{3} \) ist \( N \).
   Begründe, dass die Strecken \( MS \) und \( NS \) unterschiedliche Neigungswinkel haben. 
5. [4 BE] Der Kirchplatz liegt in einer zur \( x_{1}x_{2} \)-Ebene parallelen Ebene. Die Spitze \( S \) befindet sich 30 m über dem Kirchplatz.
   An einem Sommertag scheint die Sonne in der Richtung \( \vec{v}=\begin{pmatrix}3\\ 2\\ -4\end{pmatrix} \). Dadurch wirft sie einen Schatten von \( S \) auf den Kirchplatz.
   Berechne, wie groß der Abstand der Spitze \( S \) von deren Schattenpunkt ist.