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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/02/17 14:32
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,25 +1,36 @@
1 1  === Teilaufgabe a) ===
2 2  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 -[[image:Lösunga).png||width="220" style="float: right"]]
4 4  {{formula}}
5 5  \begin{align*}
6 6  &A_1(3|3|0), \ A_2(-3|3|0), \\
7 7  &A_3(-3|-3|0), \ A_4(3|-3|0) \\
8 -& C'_1(3|1|0), C'_2(1|3|0)
7 +& C'_1(3|1|0), \ C'_2(1|3|0)
9 9  \end{align*}
10 10  {{/formula}}
11 -
10 +[[image:Lösunga).png||width="180"]]
12 12  {{/detail}}
13 13  
14 14  
15 15  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
16 16  //Aufgabenstellung//
17 -<br><p>
18 -
19 -</p>
16 +<br>
17 +Zeichne das Quadrat {{formula}} A_{1}A_{2}A_{3}A_{4} {{/formula}} in ein zweidimensionales {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Koordinatensystem ein.
18 +<br>
19 +Zeichne in dasselbe Koordinatensystem die orthogonalen Projektionen der Punkte {{formula}} C_{1} {{/formula}} und {{formula}} C_{2} {{/formula}} ein.
20 +<p></p>
20 20  //Lösung//
21 21  <br>
22 -
23 +Gegeben sind die Punkte {{formula}}
24 +A_1(3|3|0), \ A_2(-3|3|0)
25 +{{/formula}}.
26 +<br>
27 +Da der Grundriss nach Aufgabenstellung ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 6 Metern ist, erhalten wir die fehlenden Punkte durch Verschiebung von {{formula}}A_1{{/formula}} und {{formula}}A_2{{/formula}} um 6 in negative x-Richtung: {{formula}}A_3(-3|-3|0), \ A_4(3|-3|0){{/formula}}.
28 +<p></p>
29 +Die orthogonalen Projektionen der Punkte {{formula}}C_1{{/formula}} und {{formula}} C_{2} {{/formula}} erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}} Koordinate gleich null setzen: {{formula}}
30 +C'_1(3|1|0), \ C'_2(1|3|0)
31 +{{/formula}}
32 +<br>
33 +[[image:Lösunga).png||width="180"]]
23 23  {{/detail}}
24 24  
25 25  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -28,7 +28,7 @@
28 28  \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|=2\sqrt2
29 29  {{/formula}}
30 30  <br>
31 -Damit ist das Dreieck {{formula}}B_2C_1C_2{{/formula}} gleichseitig.
42 +Damit ist das Dreieck {{formula}}C_1B_1C_2{{/formula}} gleichseitig.
32 32  <p></p>
33 33  Mittelpunkt der Strecke {{formula}}C_1C_2{{/formula}}:
34 34  {{formula}}
... ... @@ -47,10 +47,43 @@
47 47  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
48 48  //Aufgabenstellung//
49 49  <br><p>
50 -
61 +Zeige, dass das Dreieck {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}} gleichseitig ist. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}}.
51 51  </p>
52 52  //Lösung//
53 53  <br>
65 +Wir berechnen die Seitenlängen des Dreiecks {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}}:
66 +{{formula}}
67 +\begin{align*}
68 +\Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}1-3\\3-1\\4-4\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+2^2+0^2}=2\sqrt{2} \\
69 +\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}3-3\\1-3\\4-2\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{0^2+(-2)^2+2^2}=2\sqrt{2} \\
70 +\Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}1-3\\3-3\\4-2\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+0^2+2^2}=2\sqrt{2}
71 +\end{align*}
72 +{{/formula}}
73 +<p></p>
74 +Somit gilt
75 +{{formula}}
76 +\Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|=2\sqrt2
77 +{{/formula}}.
78 +<br>
79 +Damit ist das Dreieck {{formula}}C_1B_1C_2{{/formula}} gleichseitig.
80 +<p></p>
81 +[[image:DreieckSkizze.svg||width="180" style="float: right"]]
82 +Der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet sich durch {{formula}}A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h{{/formula}}. Um die Höhe {{formula}}h{{/formula}} des Dreieckes zu bestimmen, benötigen wir zunächst den Mittelpunkt der Strecke {{formula}}C_1C_2{{/formula}} (siehe Skizze).
83 +<br>
84 +Diesen berechnen wir durch
85 +{{formula}}
86 +M\left(\frac{3+1}{2}\Bigl| \frac{1+3}{2} \Bigl|\frac{4+4}{2}\right)=M(2|2|4)
87 +{{/formula}}.
88 +<br>
89 +Die Höhe {{formula}}h{{/formula}} ergibt sich durch
90 +{{formula}}
91 +\Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=\left|\begin{pmatrix}3-2\\3-2\\2-4\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{6}
92 +{{/formula}}.
93 +<br>
94 +Damit:
95 +{{formula}}
96 +A=\frac12\cdot \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl| \cdot \Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=2\sqrt3
97 +{{/formula}}
54 54  {{/detail}}
55 55  
56 56  === Teilaufgabe c) ===
... ... @@ -69,11 +69,36 @@
69 69  
70 70  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
71 71  //Aufgabenstellung//
72 -<br><p>
73 -
74 -</p>
116 +<br>
117 +Vier der acht Dreiecksflächen des Daches sind parallel zu den jeweils unterhalb liegenden Dreiecksflächen.
118 +<br>
119 +Ermittle die Koordinaten der Spitze {{formula}} S {{/formula}}.
120 +<p></p>
75 75  //Lösung//
76 76  <br>
123 +Die Punkte {{formula}}B_1{{/formula}}, {{formula}}C_1{{/formula}} und {{formula}}C_2{{/formula}} liegen in einer Ebene {{formula}}E{{/formula}}. Die Punkte {{formula}}D_1{{/formula}}, {{formula}}D_2{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}}
124 +liegen in einer Ebene {{formula}}F{{/formula}}. Aus der Skizze des Kirchturmes wird ersichtlich, dass die beiden Ebenen {{formula}}E{{/formula}} und {{formula}}F{{/formula}} parallel sein müssen. Das heißt, die beiden Ebenen besitzen den selben Normalenvektor.
125 +<br>
126 +Um also eine Ebenengleichung der Ebene {{formula}}F{{/formula}} zu bestimmen und so anschließend den Punkt {{formula}}S{{/formula}} zu bestimmen, bestimmen wir zunächst einen Normalenvektor der Ebene {{formula}}E{{/formula}}:
127 +<br>
128 +{{formula}}
129 +\begin{align*}
130 + \vec{n}_E=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|\times \Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|&=\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix} \\
131 +&=\begin{pmatrix}(-2)\cdot 2-2\cdot 0\\2\cdot (-2)-0\cdot 2\\0\cdot 0-(-2)\cdot (-2)\end{pmatrix} \\
132 +&=\begin{pmatrix}-4\\-4\\-4\end{pmatrix}=(-4)\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
133 +\end{align*}
134 +{{/formula}}
135 +<p></p>
136 +Somit ist {{formula}}
137 +\vec{n}_E=\vec{n}_F=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
138 +{{/formula}}.
139 +<br>
140 +{{formula}}F{{/formula}} hat damit die Form {{formula}}F: \ x_1+x_2+x_3=b{{/formula}}.
141 +<p></p>
142 +Punktprobe mit einem der Punkte der Ebene {{formula}}F{{/formula}}, z.B. {{formula}}D_1{{/formula}}, liefert:
143 +{{formula}}3+1+8= 12= b{{/formula}}
144 +<br>
145 +Da der Punkt {{formula}}S{{/formula}} auf der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse liegt, sind die {{formula}}x_1{{/formula}}- und {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}S{{/formula}} null. Somit ergibt sich für die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate {{formula}}x_3=12{{/formula}} und der Punkt lautet {{formula}}S(0|0|12){{/formula}}.
77 77  {{/detail}}
78 78  
79 79  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -85,7 +85,9 @@
85 85  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
86 86  //Aufgabenstellung//
87 87  <br><p>
88 -
157 +Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} D_{1}D_{2} {{/formula}} ist {{formula}} M {{/formula}}. Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} D_{2}D_{3} {{/formula}} ist {{formula}} N {{/formula}}.
158 +<br>
159 +Begründe, dass die Strecken {{formula}} MS {{/formula}} und {{formula}} NS {{/formula}} unterschiedliche Neigungswinkel haben.
89 89  </p>
90 90  //Lösung//
91 91  <br>
... ... @@ -103,7 +103,7 @@
103 103  
104 104  {{formula}}
105 105  \cos(\varphi)=\frac{\text{Kirchturmhöhe} \ h}{\text{gesuchter Abstand}\ a} \ \Leftrightarrow \
106 -a=\frac{h}{\cos(\varphi)}=\frac{30}{\cos(42^\circ)}\approx40{,}4
177 +a=\frac{h}{\cos(\varphi)}\approx\frac{30}{\cos(42{,}0^\circ)}\approx40{,}4
107 107  {{/formula}}
108 108  <p></p>
109 109  Der Abstand der Turmspitze und ihrem Schattenpunkt beträgt ca. 40,4 Meter.
... ... @@ -113,7 +113,11 @@
113 113  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
114 114  //Aufgabenstellung//
115 115  <br><p>
116 -
187 +Der Kirchplatz liegt in einer zur {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Ebene parallelen Ebene. Die Spitze {{formula}} S {{/formula}} befindet sich 30 m über dem Kirchplatz.
188 +<br>
189 +An einem Sommertag scheint die Sonne in der Richtung {{formula}} \vec{v}=\begin{pmatrix}3\\ 2\\ -4\end{pmatrix} {{/formula}}. Dadurch wirft sie einen Schatten von {{formula}} S {{/formula}} auf den Kirchplatz.
190 +<br>
191 +Berechne, wie groß der Abstand der Spitze {{formula}} S {{/formula}} von deren Schattenpunkt ist.
117 117  </p>
118 118  //Lösung//
119 119  <br>
DreieckSkizze.svg
Author
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +XWiki.akukin
Größe
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +8.4 KB
Inhalt
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +<svg version="1.1" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="918" height="844"><defs><clipPath id="oOxQhGktdnfk"><path fill="none" stroke="none" d=" M 0 0 L 918 0 L 918 844 L 0 844 L 0 0 Z"/></clipPath></defs><g transform="scale(1,1)" clip-path="url(#oOxQhGktdnfk)"><g><rect fill="rgb(255,255,255)" stroke="none" x="0" y="0" width="919" height="845" fill-opacity="1"/><path fill="none" stroke="rgb(0,0,0)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 424.05601389127236 85.98936140301907 L 76.60203195097847 687.7973114161165" stroke-opacity="0.6980392156862745" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-width="2.5"/><path fill="none" stroke="rgb(0,0,0)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 424.05601389127236 85.98936140301907 L 771.5099958315662 687.7973114161165" stroke-opacity="0.6980392156862745" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-width="2.5"/><text fill="rgb(0,0,0)" 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683.9313181673009 72.73603870216292 680.7973114161165 76.60203195097847 680.7973114161165 C 80.46802519979403 680.7973114161165 83.60203195097847 683.9313181673009 83.60203195097847 687.7973114161165 Z" stroke-opacity="1" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10"/><text fill="rgb(77,77,255)" stroke="none" font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="32px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" x="49" y="723" text-anchor="start" dominant-baseline="alphabetic" fill-opacity="1">C</text><text fill="rgb(77,77,255)" stroke="none" font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="28px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" x="72" y="737" text-anchor="start" dominant-baseline="alphabetic" fill-opacity="1">2</text><path fill="rgb(77,77,255)" stroke="none" paint-order="stroke fill markers" d=" M 778.5099958315662 687.7973114161165 C 778.5099958315662 691.6633046649321 775.3759890803818 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