Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zusammenfassung

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -4,7 +4,7 @@
4	4	\begin{align*}
5	5	&A_1(3|3|0), \ A_2(-3|3|0), \\
6	6	&A_3(-3|-3|0), \ A_4(3|-3|0) \\
7		-& C'_1(3|1|0), C'_2(1|3|0)
	7	+& C'_1(3|1|0), \ C'_2(1|3|0)
8	8	\end{align*}
9	9	{{/formula}}
10	10	[[image:Lösunga).png||width="180"]]
...	...	@@ -13,12 +13,24 @@
13	13
14	14	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
15	15	//Aufgabenstellung//
16		-<br><p>
17		-
18		-</p>
	16	+<br>
	17	+Zeichne das Quadrat {{formula}} A_{1}A_{2}A_{3}A_{4} {{/formula}} in ein zweidimensionales {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Koordinatensystem ein.
	18	+<br>
	19	+Zeichne in dasselbe Koordinatensystem die orthogonalen Projektionen der Punkte {{formula}} C_{1} {{/formula}} und {{formula}} C_{2} {{/formula}} ein.
	20	+<p></p>
19	19	//Lösung//
20	20	<br>
21		-
	23	+Gegeben sind die Punkte {{formula}}
	24	+A_1(3|3|0), \ A_2(-3|3|0)
	25	+{{/formula}}.
	26	+<br>
	27	+Da der Grundriss nach Aufgabenstellung ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 6 Metern ist, erhalten wir die fehlenden Punkte durch Verschiebung von {{formula}}A_1{{/formula}} und {{formula}}A_2{{/formula}} um 6 in negative x-Richtung: {{formula}}A_3(-3|-3|0), \ A_4(3|-3|0){{/formula}}.
	28	+<p></p>
	29	+Die orthogonalen Projektionen der Punkte {{formula}}C_1{{/formula}} und {{formula}} C_{2} {{/formula}} erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}} Koordinate gleich null setzen: {{formula}}
	30	+C'_1(3|1|0), \ C'_2(1|3|0)
	31	+{{/formula}}
	32	+<br>
	33	+[[image:Lösunga).png||width="180"]]
22	22	{{/detail}}
23	23
24	24	=== Teilaufgabe b) ===
...	...	@@ -46,10 +46,43 @@
46	46	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
47	47	//Aufgabenstellung//
48	48	<br><p>
49		-
	61	+Zeige, dass das Dreieck {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}} gleichseitig ist. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}}.
50	50	</p>
51	51	//Lösung//
52	52	<br>
	65	+Wir berechnen die Seitenlängen des Dreiecks {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}}:
	66	+{{formula}}
	67	+\begin{align*}
	68	+\Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}1-3\\3-1\\4-4\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+2^2+0^2}=2\sqrt{2} \\
	69	+\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}3-3\\1-3\\4-2\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{0^2+(-2)^2+2^2}=2\sqrt{2} \\
	70	+\Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}1-3\\3-3\\4-2\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+0^2+2^2}=2\sqrt{2}
	71	+\end{align*}
	72	+{{/formula}}
	73	+<p></p>
	74	+Somit gilt
	75	+{{formula}}
	76	+\Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|=2\sqrt2
	77	+{{/formula}}.
	78	+<br>
	79	+Damit ist das Dreieck {{formula}}C_1B_1C_2{{/formula}} gleichseitig.
	80	+<p></p>
	81	+[[image:DreieckSkizze.svg||width="180" style="float: right"]]
	82	+Der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet sich durch {{formula}}A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h{{/formula}}. Um die Höhe {{formula}}h{{/formula}} des Dreieckes zu bestimmen, benötigen wir zunächst den Mittelpunkt der Strecke {{formula}}C_1C_2{{/formula}} (siehe Skizze).
	83	+<br>
	84	+Diesen berechnen wir durch
	85	+{{formula}}
	86	+M\left(\frac{3+1}{2}\Bigl| \frac{1+3}{2} \Bigl|\frac{4+4}{2}\right)=M(2|2|4)
	87	+{{/formula}}.
	88	+<br>
	89	+Die Höhe {{formula}}h{{/formula}} ergibt sich durch
	90	+{{formula}}
	91	+\Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=\left|\begin{pmatrix}3-2\\3-2\\2-4\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{6}
	92	+{{/formula}}.
	93	+<br>
	94	+Damit:
	95	+{{formula}}
	96	+A=\frac12\cdot \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl| \cdot \Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=2\sqrt3
	97	+{{/formula}}
53	53	{{/detail}}
54	54
55	55	=== Teilaufgabe c) ===
...	...	@@ -68,11 +68,36 @@
68	68
69	69	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
70	70	//Aufgabenstellung//
71		-<br><p>
72		-
73		-</p>
	116	+<br>
	117	+Vier der acht Dreiecksflächen des Daches sind parallel zu den jeweils unterhalb liegenden Dreiecksflächen.
	118	+<br>
	119	+Ermittle die Koordinaten der Spitze {{formula}} S {{/formula}}.
	120	+<p></p>
74	74	//Lösung//
75	75	<br>
	123	+Die Punkte {{formula}}B_1{{/formula}}, {{formula}}C_1{{/formula}} und {{formula}}C_2{{/formula}} liegen in einer Ebene {{formula}}E{{/formula}}. Die Punkte {{formula}}D_1{{/formula}}, {{formula}}D_2{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}}
	124	+liegen in einer Ebene {{formula}}F{{/formula}}. Aus der Skizze des Kirchturmes wird ersichtlich, dass die beiden Ebenen {{formula}}E{{/formula}} und {{formula}}F{{/formula}} parallel sein müssen. Das heißt, die beiden Ebenen besitzen den selben Normalenvektor.
	125	+<br>
	126	+Um also eine Ebenengleichung der Ebene {{formula}}F{{/formula}} zu bestimmen und so anschließend den Punkt {{formula}}S{{/formula}} zu bestimmen, bestimmen wir zunächst einen Normalenvektor der Ebene {{formula}}E{{/formula}}:
	127	+<br>
	128	+{{formula}}
	129	+\begin{align*}
	130	+ \vec{n}_E=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|\times \Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|&=\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix} \\
	131	+&=\begin{pmatrix}(-2)\cdot 2-2\cdot 0\\2\cdot (-2)-0\cdot 2\\0\cdot 0-(-2)\cdot (-2)\end{pmatrix} \\
	132	+&=\begin{pmatrix}-4\\-4\\-4\end{pmatrix}=(-4)\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
	133	+\end{align*}
	134	+{{/formula}}
	135	+<p></p>
	136	+Somit ist {{formula}}
	137	+\vec{n}_E=\vec{n}_F=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
	138	+{{/formula}}.
	139	+<br>
	140	+{{formula}}F{{/formula}} hat damit die Form {{formula}}F: \ x_1+x_2+x_3=b{{/formula}}.
	141	+<p></p>
	142	+Punktprobe mit einem der Punkte der Ebene {{formula}}F{{/formula}}, z.B. {{formula}}D_1{{/formula}}, liefert:
	143	+{{formula}}3+1+8= 12= b{{/formula}}
	144	+<br>
	145	+Da der Punkt {{formula}}S{{/formula}} auf der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse liegt, sind die {{formula}}x_1{{/formula}}- und {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}S{{/formula}} null. Somit ergibt sich für die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate {{formula}}x_3=12{{/formula}} und der Punkt lautet {{formula}}S(0|0|12){{/formula}}.
76	76	{{/detail}}
77	77
78	78	=== Teilaufgabe d) ===
...	...	@@ -84,7 +84,9 @@
84	84	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
85	85	//Aufgabenstellung//
86	86	<br><p>
87		-
	157	+Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} D_{1}D_{2} {{/formula}} ist {{formula}} M {{/formula}}. Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} D_{2}D_{3} {{/formula}} ist {{formula}} N {{/formula}}.
	158	+<br>
	159	+Begründe, dass die Strecken {{formula}} MS {{/formula}} und {{formula}} NS {{/formula}} unterschiedliche Neigungswinkel haben.
88	88	</p>
89	89	//Lösung//
90	90	<br>
...	...	@@ -112,7 +112,11 @@
112	112	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
113	113	//Aufgabenstellung//
114	114	<br><p>
115		-
	187	+Der Kirchplatz liegt in einer zur {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Ebene parallelen Ebene. Die Spitze {{formula}} S {{/formula}} befindet sich 30 m über dem Kirchplatz.
	188	+<br>
	189	+An einem Sommertag scheint die Sonne in der Richtung {{formula}} \vec{v}=\begin{pmatrix}3\\ 2\\ -4\end{pmatrix} {{/formula}}. Dadurch wirft sie einen Schatten von {{formula}} S {{/formula}} auf den Kirchplatz.
	190	+<br>
	191	+Berechne, wie groß der Abstand der Spitze {{formula}} S {{/formula}} von deren Schattenpunkt ist.
116	116	</p>
117	117	//Lösung//
118	118	<br>