Zum Inhalt springen

Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/02/17 14:32
Von Version 6.1
bearbeitet von Anna Kukin
am 2026/02/17 12:07
Änderungskommentar: Löschung des Bildes DreieckSkizze.svg
Auf Version 8.1
bearbeitet von Anna Kukin
am 2026/02/17 12:12
Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version

Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -4,7 +4,7 @@
4 4  \begin{align*}
5 5  &A_1(3|3|0), \ A_2(-3|3|0), \\
6 6  &A_3(-3|-3|0), \ A_4(3|-3|0) \\
7 -& C'_1(3|1|0), C'_2(1|3|0)
7 +& C'_1(3|1|0), \ C'_2(1|3|0)
8 8  \end{align*}
9 9  {{/formula}}
10 10  [[image:Lösunga).png||width="180"]]
... ... @@ -13,12 +13,24 @@
13 13  
14 14  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
15 15  //Aufgabenstellung//
16 -<br><p>
17 -
18 -</p>
16 +<br>
17 +Zeichne das Quadrat {{formula}} A_{1}A_{2}A_{3}A_{4} {{/formula}} in ein zweidimensionales {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Koordinatensystem ein.
18 +<br>
19 +Zeichne in dasselbe Koordinatensystem die orthogonalen Projektionen der Punkte {{formula}} C_{1} {{/formula}} und {{formula}} C_{2} {{/formula}} ein.
20 +<p></p>
19 19  //Lösung//
20 20  <br>
21 -
23 +Gegeben sind die Punkte {{formula}}
24 +A_1(3|3|0), \ A_2(-3|3|0)
25 +{{/formula}}.
26 +<br>
27 +Da der Grundriss nach Aufgabenstellung ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 6 Metern ist, erhalten wir die fehlenden Punkte durch Verschiebung von {{formula}}A_1{{/formula}} und {{formula}}A_2{{/formula}} um 6 in negative x-Richtung: {{formula}}A_3(-3|-3|0), \ A_4(3|-3|0){{/formula}}.
28 +<p></p>
29 +Die orthogonalen Projektionen der Punkte {{formula}}C_1{{/formula}} und {{formula}} C_{2} {{/formula}} erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}} Koordinate gleich null setzen: {{formula}}
30 +C'_1(3|1|0), \ C'_2(1|3|0)
31 +{{/formula}}
32 +<br>
33 +[[image:Lösunga).png||width="180"]]
22 22  {{/detail}}
23 23  
24 24  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -46,10 +46,43 @@
46 46  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
47 47  //Aufgabenstellung//
48 48  <br><p>
49 -
61 +Zeige, dass das Dreieck {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}} gleichseitig ist. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}}.
50 50  </p>
51 51  //Lösung//
52 52  <br>
65 +Wir berechnen die Seitenlängen des Dreiecks {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}}:
66 +{{formula}}
67 +\begin{align*}
68 +\Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}1-3\\3-1\\4-4\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+2^2+0^2}=2\sqrt{2} \\
69 +\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}3-3\\1-3\\4-2\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{0^2+(-2)^2+2^2}=2\sqrt{2} \\
70 +\Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}1-3\\3-3\\4-2\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+0^2+2^2}=2\sqrt{2}
71 +\end{align*}
72 +{{/formula}}
73 +<p></p>
74 +Somit gilt
75 +{{formula}}
76 +\Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|=2\sqrt2
77 +{{/formula}}.
78 +<br>
79 +Damit ist das Dreieck {{formula}}C_1B_1C_2{{/formula}} gleichseitig.
80 +<p></p>
81 +[[image:DreieckSkizze.svg||width="120" style="float: right"]]]
82 +Der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet sich durch {{formula}}A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h{{/formula}}. Um die Höhe {{formula}}h{{/formula}} des Dreieckes zu bestimmen, benötigen wir zunächst den Mittelpunkt der Strecke {{formula}}C_1C_2{{/formula}} (siehe Skizze).
83 +<br>
84 +Diesen berechnen wir durch
85 +{{formula}}
86 +M\left(\frac{3+1}{2}\Bigl| \frac{1+3}{2} \Bigl|\frac{4+4}{2}\right)=M(2|2|4)
87 +{{/formula}}.
88 +<br>
89 +Die Höhe {{formula}}h{{/formula}} ergibt sich durch
90 +{{formula}}
91 +\Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=\left|\begin{pmatrix}3-2\\3-2\\2-4\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{6}
92 +{{/formula}}.
93 +<br>
94 +Damit:
95 +{{formula}}
96 +A=\frac12\cdot \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl| \cdot \Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=2\sqrt3
97 +{{/formula}}
53 53  {{/detail}}
54 54  
55 55  === Teilaufgabe c) ===
... ... @@ -68,9 +68,11 @@
68 68  
69 69  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
70 70  //Aufgabenstellung//
71 -<br><p>
72 -
73 -</p>
116 +<br>
117 +Vier der acht Dreiecksflächen des Daches sind parallel zu den jeweils unterhalb liegenden Dreiecksflächen.
118 +<br>
119 +Ermittle die Koordinaten der Spitze {{formula}} S {{/formula}}.
120 +<p></p>
74 74  //Lösung//
75 75  <br>
76 76  {{/detail}}
... ... @@ -84,7 +84,9 @@
84 84  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
85 85  //Aufgabenstellung//
86 86  <br><p>
87 -
134 +Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} D_{1}D_{2} {{/formula}} ist {{formula}} M {{/formula}}. Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} D_{2}D_{3} {{/formula}} ist {{formula}} N {{/formula}}.
135 +<br>
136 +Begründe, dass die Strecken {{formula}} MS {{/formula}} und {{formula}} NS {{/formula}} unterschiedliche Neigungswinkel haben.
88 88  </p>
89 89  //Lösung//
90 90  <br>
... ... @@ -112,7 +112,11 @@
112 112  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
113 113  //Aufgabenstellung//
114 114  <br><p>
115 -
164 +Der Kirchplatz liegt in einer zur {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Ebene parallelen Ebene. Die Spitze {{formula}} S {{/formula}} befindet sich 30 m über dem Kirchplatz.
165 +<br>
166 +An einem Sommertag scheint die Sonne in der Richtung {{formula}} \vec{v}=\begin{pmatrix}3\\ 2\\ -4\end{pmatrix} {{/formula}}. Dadurch wirft sie einen Schatten von {{formula}} S {{/formula}} auf den Kirchplatz.
167 +<br>
168 +Berechne, wie groß der Abstand der Spitze {{formula}} S {{/formula}} von deren Schattenpunkt ist.
116 116  </p>
117 117  //Lösung//
118 118  <br>
DreieckSkizze.svg
Author
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +XWiki.akukin
Größe
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +8.4 KB
Inhalt
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +<svg version="1.1" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="918" height="844"><defs><clipPath id="oOxQhGktdnfk"><path fill="none" stroke="none" d=" M 0 0 L 918 0 L 918 844 L 0 844 L 0 0 Z"/></clipPath></defs><g transform="scale(1,1)" clip-path="url(#oOxQhGktdnfk)"><g><rect fill="rgb(255,255,255)" stroke="none" x="0" y="0" width="919" height="845" fill-opacity="1"/><path fill="none" stroke="rgb(0,0,0)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 424.05601389127236 85.98936140301907 L 76.60203195097847 687.7973114161165" stroke-opacity="0.6980392156862745" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-width="2.5"/><path fill="none" stroke="rgb(0,0,0)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 424.05601389127236 85.98936140301907 L 771.5099958315662 687.7973114161165" stroke-opacity="0.6980392156862745" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-width="2.5"/><text fill="rgb(0,0,0)" stroke="none" font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="32px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" x="417" y="725" text-anchor="start" dominant-baseline="alphabetic" fill-opacity="1">g</text><path fill="none" stroke="rgb(0,0,0)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 76.60203195097847 687.7973114161165 L 771.5099958315662 687.7973114161165" stroke-opacity="0.6980392156862745" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-width="2.5"/><text fill="rgb(0,0,0)" stroke="none" font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="32px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" x="435" y="404" text-anchor="start" dominant-baseline="alphabetic" fill-opacity="1">h</text><path fill="none" stroke="rgb(0,0,0)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 426.4922030999998 687.7973114161165 L 424.05601389127236 85.98936140301907" stroke-opacity="0.6980392156862745" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-width="2.5"/><path fill="rgb(77,77,255)" stroke="none" paint-order="stroke fill markers" d=" M 83.60203195097847 687.7973114161165 C 83.60203195097847 691.6633046649321 80.46802519979403 694.7973114161165 76.60203195097847 694.7973114161165 C 72.73603870216292 694.7973114161165 69.60203195097847 691.6633046649321 69.60203195097847 687.7973114161165 C 69.60203195097847 683.9313181673009 72.73603870216292 680.7973114161165 76.60203195097847 680.7973114161165 C 80.46802519979403 680.7973114161165 83.60203195097847 683.9313181673009 83.60203195097847 687.7973114161165 Z" fill-opacity="1"/><path fill="none" stroke="rgb(0,0,0)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 83.60203195097847 687.7973114161165 C 83.60203195097847 691.6633046649321 80.46802519979403 694.7973114161165 76.60203195097847 694.7973114161165 C 72.73603870216292 694.7973114161165 69.60203195097847 691.6633046649321 69.60203195097847 687.7973114161165 C 69.60203195097847 683.9313181673009 72.73603870216292 680.7973114161165 76.60203195097847 680.7973114161165 C 80.46802519979403 680.7973114161165 83.60203195097847 683.9313181673009 83.60203195097847 687.7973114161165 Z" stroke-opacity="1" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10"/><text fill="rgb(77,77,255)" stroke="none" font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="32px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" x="49" y="723" text-anchor="start" dominant-baseline="alphabetic" fill-opacity="1">C</text><text fill="rgb(77,77,255)" stroke="none" font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="28px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" x="72" y="737" text-anchor="start" dominant-baseline="alphabetic" fill-opacity="1">2</text><path fill="rgb(77,77,255)" stroke="none" paint-order="stroke fill markers" d=" M 778.5099958315662 687.7973114161165 C 778.5099958315662 691.6633046649321 775.3759890803818 694.7973114161165 771.5099958315662 694.7973114161165 C 767.6440025827507 694.7973114161165 764.5099958315662 691.6633046649321 764.5099958315662 687.7973114161165 C 764.5099958315662 683.9313181673009 767.6440025827507 680.7973114161165 771.5099958315662 680.7973114161165 C 775.3759890803818 680.7973114161165 778.5099958315662 683.9313181673009 778.5099958315662 687.7973114161165 Z" fill-opacity="1"/><path fill="none" stroke="rgb(0,0,0)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 778.5099958315662 687.7973114161165 C 778.5099958315662 691.6633046649321 775.3759890803818 694.7973114161165 771.5099958315662 694.7973114161165 C 767.6440025827507 694.7973114161165 764.5099958315662 691.6633046649321 764.5099958315662 687.7973114161165 C 764.5099958315662 683.9313181673009 767.6440025827507 680.7973114161165 771.5099958315662 680.7973114161165 C 775.3759890803818 680.7973114161165 778.5099958315662 683.9313181673009 778.5099958315662 687.7973114161165 Z" stroke-opacity="1" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10"/><text fill="rgb(77,77,255)" stroke="none" font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="32px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" x="776" y="716" text-anchor="start" dominant-baseline="alphabetic" fill-opacity="1">C</text><text fill="rgb(77,77,255)" stroke="none" font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="28px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" x="799" y="730" text-anchor="start" dominant-baseline="alphabetic" fill-opacity="1">1</text><path fill="rgb(77,77,255)" stroke="none" paint-order="stroke fill markers" d=" M 431.05601389127236 85.98936140301907 C 431.05601389127236 89.85535465183463 427.9220071400879 92.98936140301907 424.05601389127236 92.98936140301907 C 420.19002064245683 92.98936140301907 417.05601389127236 89.85535465183463 417.05601389127236 85.98936140301907 C 417.05601389127236 82.12336815420352 420.19002064245683 78.98936140301907 424.05601389127236 78.98936140301907 C 427.9220071400879 78.98936140301907 431.05601389127236 82.12336815420352 431.05601389127236 85.98936140301907 Z" fill-opacity="1"/><path fill="none" stroke="rgb(0,0,0)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 431.05601389127236 85.98936140301907 C 431.05601389127236 89.85535465183463 427.9220071400879 92.98936140301907 424.05601389127236 92.98936140301907 C 420.19002064245683 92.98936140301907 417.05601389127236 89.85535465183463 417.05601389127236 85.98936140301907 C 417.05601389127236 82.12336815420352 420.19002064245683 78.98936140301907 424.05601389127236 78.98936140301907 C 427.9220071400879 78.98936140301907 431.05601389127236 82.12336815420352 431.05601389127236 85.98936140301907 Z" stroke-opacity="1" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10"/><text fill="rgb(77,77,255)" stroke="none" font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="32px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" x="420" y="69" text-anchor="start" dominant-baseline="alphabetic" fill-opacity="1">B</text><path fill="rgb(125,125,255)" stroke="none" paint-order="stroke fill markers" d=" M 433.4922030999998 687.7973114161165 C 433.4922030999998 691.6633046649321 430.35819634881534 694.7973114161165 426.4922030999998 694.7973114161165 C 422.6262098511843 694.7973114161165 419.4922030999998 691.6633046649321 419.4922030999998 687.7973114161165 C 419.4922030999998 683.9313181673009 422.6262098511843 680.7973114161165 426.4922030999998 680.7973114161165 C 430.35819634881534 680.7973114161165 433.4922030999998 683.9313181673009 433.4922030999998 687.7973114161165 Z" fill-opacity="1"/><path fill="none" stroke="rgb(0,0,0)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 433.4922030999998 687.7973114161165 C 433.4922030999998 691.6633046649321 430.35819634881534 694.7973114161165 426.4922030999998 694.7973114161165 C 422.6262098511843 694.7973114161165 419.4922030999998 691.6633046649321 419.4922030999998 687.7973114161165 C 419.4922030999998 683.9313181673009 422.6262098511843 680.7973114161165 426.4922030999998 680.7973114161165 C 430.35819634881534 680.7973114161165 433.4922030999998 683.9313181673009 433.4922030999998 687.7973114161165 Z" stroke-opacity="1" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10"/><text fill="rgb(125,125,255)" stroke="none" font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="32px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" x="397" y="671" text-anchor="start" dominant-baseline="alphabetic" fill-opacity="1">M</text></g></g></svg>