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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -4,7 +4,7 @@
4 4  \begin{align*}
5 5  &A_1(3|3|0), \ A_2(-3|3|0), \\
6 6  &A_3(-3|-3|0), \ A_4(3|-3|0) \\
7 -& C'_1(3|1|0), C'_2(1|3|0)
7 +& C'_1(3|1|0), \ C'_2(1|3|0)
8 8  \end{align*}
9 9  {{/formula}}
10 10  [[image:Lösunga).png||width="180"]]
... ... @@ -13,12 +13,24 @@
13 13  
14 14  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
15 15  //Aufgabenstellung//
16 -<br><p>
17 -
18 -</p>
16 +<br>
17 +Zeichne das Quadrat {{formula}} A_{1}A_{2}A_{3}A_{4} {{/formula}} in ein zweidimensionales {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Koordinatensystem ein.
18 +<br>
19 +Zeichne in dasselbe Koordinatensystem die orthogonalen Projektionen der Punkte {{formula}} C_{1} {{/formula}} und {{formula}} C_{2} {{/formula}} ein.
20 +<p></p>
19 19  //Lösung//
20 20  <br>
21 -
23 +Gegeben sind die Punkte {{formula}}
24 +A_1(3|3|0), \ A_2(-3|3|0)
25 +{{/formula}}.
26 +<br>
27 +Da der Grundriss nach Aufgabenstellung ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 6 Metern ist, erhalten wir die fehlenden Punkte durch Verschiebung von {{formula}}A_1{{/formula}} und {{formula}}A_2{{/formula}} um 6 in negative x-Richtung: {{formula}}A_3(-3|-3|0), \ A_4(3|-3|0){{/formula}}.
28 +<p></p>
29 +Die orthogonalen Projektionen der Punkte {{formula}}C_1{{/formula}} und {{formula}} C_{2} {{/formula}} erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}} Koordinate gleich null setzen: {{formula}}
30 +C'_1(3|1|0), \ C'_2(1|3|0)
31 +{{/formula}}
32 +<br>
33 +[[image:Lösunga).png||width="180"]]
22 22  {{/detail}}
23 23  
24 24  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -46,10 +46,43 @@
46 46  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
47 47  //Aufgabenstellung//
48 48  <br><p>
49 -
61 +Zeige, dass das Dreieck {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}} gleichseitig ist. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}}.
50 50  </p>
51 51  //Lösung//
52 52  <br>
65 +Wir berechnen die Seitenlängen des Dreiecks {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}}:
66 +{{formula}}
67 +\begin{align*}
68 +\Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}1-3\\3-1\\4-4\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+2^2+0^2}=2\sqrt{2} \\
69 +\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}3-3\\1-3\\4-2\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{0^2+(-2)^2+2^2}=2\sqrt{2} \\
70 +\Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}1-3\\3-3\\4-2\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+0^2+2^2}=2\sqrt{2}
71 +\end{align*}
72 +{{/formula}}
73 +<p></p>
74 +Somit gilt
75 +{{formula}}
76 +\Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|=2\sqrt2
77 +{{/formula}}.
78 +<br>
79 +Damit ist das Dreieck {{formula}}C_1B_1C_2{{/formula}} gleichseitig.
80 +<p></p>
81 +[[image:DreieckSkizze.svg||width="180" style="float: right"]]
82 +Der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet sich durch {{formula}}A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h{{/formula}}. Um die Höhe {{formula}}h{{/formula}} des Dreieckes zu bestimmen, benötigen wir zunächst den Mittelpunkt der Strecke {{formula}}C_1C_2{{/formula}} (siehe Skizze).
83 +<br>
84 +Diesen berechnen wir durch
85 +{{formula}}
86 +M\left(\frac{3+1}{2}\Bigl| \frac{1+3}{2} \Bigl|\frac{4+4}{2}\right)=M(2|2|4)
87 +{{/formula}}.
88 +<br>
89 +Die Höhe {{formula}}h{{/formula}} ergibt sich durch
90 +{{formula}}
91 +\Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=\left|\begin{pmatrix}3-2\\3-2\\2-4\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{6}
92 +{{/formula}}.
93 +<br>
94 +Damit:
95 +{{formula}}
96 +A=\frac12\cdot \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl| \cdot \Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=2\sqrt3
97 +{{/formula}}
53 53  {{/detail}}
54 54  
55 55  === Teilaufgabe c) ===
... ... @@ -68,11 +68,36 @@
68 68  
69 69  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
70 70  //Aufgabenstellung//
71 -<br><p>
72 -
73 -</p>
116 +<br>
117 +Vier der acht Dreiecksflächen des Daches sind parallel zu den jeweils unterhalb liegenden Dreiecksflächen.
118 +<br>
119 +Ermittle die Koordinaten der Spitze {{formula}} S {{/formula}}.
120 +<p></p>
74 74  //Lösung//
75 75  <br>
123 +Die Punkte {{formula}}B_1{{/formula}}, {{formula}}C_1{{/formula}} und {{formula}}C_2{{/formula}} liegen in einer Ebene {{formula}}E{{/formula}}. Die Punkte {{formula}}D_1{{/formula}}, {{formula}}D_2{{/formula}} und {{formula}}S{{/formula}}
124 +liegen in einer Ebene {{formula}}F{{/formula}}. Aus der Skizze des Kirchturmes wird ersichtlich, dass die beiden Ebenen {{formula}}E{{/formula}} und {{formula}}F{{/formula}} parallel sein müssen. Das heißt, die beiden Ebenen besitzen den selben Normalenvektor.
125 +<br>
126 +Um also eine Ebenengleichung der Ebene {{formula}}F{{/formula}} zu bestimmen und so anschließend den Punkt {{formula}}S{{/formula}} zu bestimmen, bestimmen wir zunächst einen Normalenvektor der Ebene {{formula}}E{{/formula}}:
127 +<br>
128 +{{formula}}
129 +\begin{align*}
130 + \vec{n}_E=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|\times \Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|&=\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix} \\
131 +&=\begin{pmatrix}(-2)\cdot 2-2\cdot 0\\2\cdot (-2)-0\cdot 2\\0\cdot 0-(-2)\cdot (-2)\end{pmatrix} \\
132 +&=\begin{pmatrix}-4\\-4\\-4\end{pmatrix}=(-4)\cdot \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
133 +\end{align*}
134 +{{/formula}}
135 +<p></p>
136 +Somit ist {{formula}}
137 +\vec{n}_E=\vec{n}_F=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}
138 +{{/formula}}.
139 +<br>
140 +{{formula}}F{{/formula}} hat damit die Form {{formula}}F: \ x_1+x_2+x_3=b{{/formula}}.
141 +<p></p>
142 +Punktprobe mit einem der Punkte der Ebene {{formula}}F{{/formula}}, z.B. {{formula}}D_1{{/formula}}, liefert:
143 +{{formula}}3+1+8= 12= b{{/formula}}
144 +<br>
145 +Da der Punkt {{formula}}S{{/formula}} auf der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse liegt, sind die {{formula}}x_1{{/formula}}- und {{formula}}x_2{{/formula}}-Koordinate von {{formula}}S{{/formula}} null. Somit ergibt sich für die {{formula}}x_3{{/formula}}-Koordinate {{formula}}x_3=12{{/formula}} und der Punkt lautet {{formula}}S(0|0|12){{/formula}}.
76 76  {{/detail}}
77 77  
78 78  === Teilaufgabe d) ===
... ... @@ -84,10 +84,20 @@
84 84  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
85 85  //Aufgabenstellung//
86 86  <br><p>
87 -
157 +Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} D_{1}D_{2} {{/formula}} ist {{formula}} M {{/formula}}. Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} D_{2}D_{3} {{/formula}} ist {{formula}} N {{/formula}}.
158 +<br>
159 +Begründe, dass die Strecken {{formula}} MS {{/formula}} und {{formula}} NS {{/formula}} unterschiedliche Neigungswinkel haben.
88 88  </p>
89 89  //Lösung//
90 90  <br>
163 +Der Abstand der Kante {{formula}}D_2D_3{{/formula}} von der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse beträgt 3m. Der Abstand der Kante {{formula}}D_1D_2{{/formula}} von der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse ist kleiner, da {{formula}}D_1D_2{{/formula}} die Ecke des Quadrats abschneidet. Deshalb sind die Neigungen der Strecken {{formula}}MS{{/formula}} und {{formula}}NS{{/formula}} bei gleicher Spitze {{formula}}S{{/formula}} unterschiedlich.
164 +<p></p>
165 +//Anmerkung: Falls nicht ersichtlich ist, wieso der Abstand der Kante {{formula}}D_1D_2{{/formula}} von der {{formula}}x_3{{/formula}}-Achse kleiner ist als 3, kann man den Abstand auch berechnen:
166 +<br>
167 +{{formula}}
168 +\begin{align*}
169 +M\left(\frac{3+1}{2}\biggl|\frac{1+3}{2}\biggl|\frac{8+8}{2}\right)=M(2|2|8) \\ \rightarrow \ \text{Abstand zur} \ x_3\text{-Achse:} \sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}<3
170 +\end{align*}{{/formula}}//
91 91  {{/detail}}
92 92  
93 93  === Teilaufgabe e) ===
... ... @@ -97,9 +97,9 @@
97 97  {{formula}}
98 98  \cos(\varphi)=\frac{\begin{pmatrix}-3\\-2\\4\end{pmatrix}\cdot
99 99  \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}{\sqrt{29}}\approx0{,}743; \
100 -\varphi\approx42{,}0^\circ
180 +\varphi\approx 42{,}0^\circ
101 101  {{/formula}}
102 -
182 +<br>
103 103  {{formula}}
104 104  \cos(\varphi)=\frac{\text{Kirchturmhöhe} \ h}{\text{gesuchter Abstand}\ a} \ \Leftrightarrow \
105 105  a=\frac{h}{\cos(\varphi)}\approx\frac{30}{\cos(42{,}0^\circ)}\approx40{,}4
... ... @@ -112,10 +112,42 @@
112 112  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
113 113  //Aufgabenstellung//
114 114  <br><p>
115 -
195 +Der Kirchplatz liegt in einer zur {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Ebene parallelen Ebene. Die Spitze {{formula}} S {{/formula}} befindet sich 30 m über dem Kirchplatz.
196 +<br>
197 +An einem Sommertag scheint die Sonne in der Richtung {{formula}} \vec{v}=\begin{pmatrix}3\\ 2\\ -4\end{pmatrix} {{/formula}}. Dadurch wirft sie einen Schatten von {{formula}} S {{/formula}} auf den Kirchplatz.
198 +<br>
199 +Berechne, wie groß der Abstand der Spitze {{formula}} S {{/formula}} von deren Schattenpunkt ist.
116 116  </p>
117 117  //Lösung//
118 118  <br>
203 +Skizze:
204 +<br>
205 +[[image:Skizzee).svg||width="350"]]
206 +<br>
207 +Gesucht: Abstand {{formula}}a{{/formula}}
208 +<p></p>
209 +Mit Hilfe der Formel in der Merkhilfe berechnen den Winkel des Sonnenlichts zur Vertikalen durch
210 +<br>
211 +{{formula}}
212 +\begin{align*}
213 +\cos(\varphi)&=\frac{\begin{pmatrix}-3\\-2\\4\end{pmatrix}\cdot
214 +\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}{\sqrt{(-3)^2+(-2)^2+4^2}\cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}\\
215 + &=\frac{(-3)\cdot 0+(-2)\cdot 0+4\cdot 1}{\sqrt{29}\cdot \sqrt{1}}=\frac{4}{\sqrt{29}} \\
216 +\Leftrightarrow \varphi&=\cos^{-1}\left(\frac{4}{\sqrt{29}}\right)\approx42{,}0^\circ
217 +\end{align*}
218 +{{/formula}}
219 +<p></p>
220 +Über trignometrische Beziehungen erhalten wir:
221 +<br>
222 +{{formula}}
223 +\begin{align*}
224 +\cos(\varphi)&=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}=\frac{\text{Kirchturmhöhe} \ h}{\text{gesuchter Abstand}\ a} \\
225 +\Leftrightarrow \
226 +a &=\frac{h}{\cos(\varphi)}\approx\frac{30}{\cos(42{,}0^\circ)}\approx40{,}4
227 +\end{align*}
228 +{{/formula}}
229 +<p></p>
230 +Der Abstand der Turmspitze und ihrem Schattenpunkt beträgt ca. 40,4 Meter.
119 119  {{/detail}}
120 120  
121 121  
Skizzee).svg
Author
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +XWiki.akukin
Größe
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +11.6 KB
Inhalt
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +<svg version="1.1" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="754" height="514"><defs><clipPath id="DWwipxqFKmMU"><path fill="none" stroke="none" d=" M 0 0 L 754 0 L 754 514 L 0 514 L 0 0 Z"/></clipPath></defs><g transform="scale(1,1)" clip-path="url(#DWwipxqFKmMU)"><g><rect fill="rgb(255,255,255)" stroke="none" x="0" y="0" width="754" height="515" fill-opacity="1"/><path fill="rgb(255,102,0)" stroke="none" paint-order="stroke fill markers" d=" M 197.96884556759377 183.95386449678153 C 215.28049725091168 183.95386449678153 231.58185455760304 175.80318584343587 241.96884556759377 161.95386449678153 L 197.96884556759377 128.95386449678153 Z" fill-opacity="0.09803921568627451"/><path fill="none" stroke="rgb(255,102,0)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 197.96884556759377 183.95386449678153 C 215.28049725091168 183.95386449678153 231.58185455760304 175.80318584343587 241.96884556759377 161.95386449678153 L 197.96884556759377 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