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Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/02/17 14:32
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -1,36 +1,25 @@
1 1  === Teilaufgabe a) ===
2 2  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 +[[image:Lösunga).png||width="220" style="float: right"]]
3 3  {{formula}}
4 4  \begin{align*}
5 5  &A_1(3|3|0), \ A_2(-3|3|0), \\
6 6  &A_3(-3|-3|0), \ A_4(3|-3|0) \\
7 -& C'_1(3|1|0), \ C'_2(1|3|0)
8 +& C'_1(3|1|0), C'_2(1|3|0)
8 8  \end{align*}
9 9  {{/formula}}
10 -[[image:Lösunga).png||width="180"]]
11 +
11 11  {{/detail}}
12 12  
13 13  
14 14  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
15 15  //Aufgabenstellung//
16 -<br>
17 -Zeichne das Quadrat {{formula}} A_{1}A_{2}A_{3}A_{4} {{/formula}} in ein zweidimensionales {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Koordinatensystem ein.
18 -<br>
19 -Zeichne in dasselbe Koordinatensystem die orthogonalen Projektionen der Punkte {{formula}} C_{1} {{/formula}} und {{formula}} C_{2} {{/formula}} ein.
20 -<p></p>
17 +<br><p>
18 +
19 +</p>
21 21  //Lösung//
22 22  <br>
23 -Gegeben sind die Punkte {{formula}}
24 -A_1(3|3|0), \ A_2(-3|3|0)
25 -{{/formula}}.
26 -<br>
27 -Da der Grundriss nach Aufgabenstellung ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 6 Metern ist, erhalten wir die fehlenden Punkte durch Verschiebung von {{formula}}A_1{{/formula}} und {{formula}}A_2{{/formula}} um 6 in negative x-Richtung: {{formula}}A_3(-3|-3|0), \ A_4(3|-3|0){{/formula}}.
28 -<p></p>
29 -Die orthogonalen Projektionen der Punkte {{formula}}C_1{{/formula}} und {{formula}} C_{2} {{/formula}} erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}} Koordinate gleich null setzen: {{formula}}
30 -C'_1(3|1|0), \ C'_2(1|3|0)
31 -{{/formula}}
32 -<br>
33 -[[image:Lösunga).png||width="180"]]
22 +
34 34  {{/detail}}
35 35  
36 36  === Teilaufgabe b) ===
... ... @@ -39,7 +39,7 @@
39 39  \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|=2\sqrt2
40 40  {{/formula}}
41 41  <br>
42 -Damit ist das Dreieck {{formula}}C_1B_1C_2{{/formula}} gleichseitig.
31 +Damit ist das Dreieck {{formula}}B_2C_1C_2{{/formula}} gleichseitig.
43 43  <p></p>
44 44  Mittelpunkt der Strecke {{formula}}C_1C_2{{/formula}}:
45 45  {{formula}}
... ... @@ -58,43 +58,10 @@
58 58  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
59 59  //Aufgabenstellung//
60 60  <br><p>
61 -Zeige, dass das Dreieck {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}} gleichseitig ist. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}}.
50 +
62 62  </p>
63 63  //Lösung//
64 64  <br>
65 -Wir berechnen die Seitenlängen des Dreiecks {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}}:
66 -{{formula}}
67 -\begin{align*}
68 -\Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}1-3\\3-1\\4-4\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+2^2+0^2}=2\sqrt{2} \\
69 -\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}3-3\\1-3\\4-2\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{0^2+(-2)^2+2^2}=2\sqrt{2} \\
70 -\Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}1-3\\3-3\\4-2\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+0^2+2^2}=2\sqrt{2}
71 -\end{align*}
72 -{{/formula}}
73 -<p></p>
74 -Somit gilt
75 -{{formula}}
76 -\Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|=2\sqrt2
77 -{{/formula}}.
78 -<br>
79 -Damit ist das Dreieck {{formula}}C_1B_1C_2{{/formula}} gleichseitig.
80 -<p></p>
81 -[[image:DreieckSkizze.svg||width="120" style="float: right"]]]
82 -Der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet sich durch {{formula}}A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h{{/formula}}. Um die Höhe {{formula}}h{{/formula}} des Dreieckes zu bestimmen, benötigen wir zunächst den Mittelpunkt der Strecke {{formula}}C_1C_2{{/formula}} (siehe Skizze).
83 -<br>
84 -Diesen berechnen wir durch
85 -{{formula}}
86 -M\left(\frac{3+1}{2}\Bigl| \frac{1+3}{2} \Bigl|\frac{4+4}{2}\right)=M(2|2|4)
87 -{{/formula}}.
88 -<br>
89 -Die Höhe {{formula}}h{{/formula}} ergibt sich durch
90 -{{formula}}
91 -\Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=\left|\begin{pmatrix}3-2\\3-2\\2-4\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{6}
92 -{{/formula}}.
93 -<br>
94 -Damit:
95 -{{formula}}
96 -A=\frac12\cdot \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl| \cdot \Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=2\sqrt3
97 -{{/formula}}
98 98  {{/detail}}
99 99  
100 100  === Teilaufgabe c) ===
... ... @@ -113,11 +113,9 @@
113 113  
114 114  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
115 115  //Aufgabenstellung//
116 -<br>
117 -Vier der acht Dreiecksflächen des Daches sind parallel zu den jeweils unterhalb liegenden Dreiecksflächen.
118 -<br>
119 -Ermittle die Koordinaten der Spitze {{formula}} S {{/formula}}.
120 -<p></p>
72 +<br><p>
73 +
74 +</p>
121 121  //Lösung//
122 122  <br>
123 123  {{/detail}}
... ... @@ -131,9 +131,7 @@
131 131  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
132 132  //Aufgabenstellung//
133 133  <br><p>
134 -Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} D_{1}D_{2} {{/formula}} ist {{formula}} M {{/formula}}. Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} D_{2}D_{3} {{/formula}} ist {{formula}} N {{/formula}}.
135 -<br>
136 -Begründe, dass die Strecken {{formula}} MS {{/formula}} und {{formula}} NS {{/formula}} unterschiedliche Neigungswinkel haben.
88 +
137 137  </p>
138 138  //Lösung//
139 139  <br>
... ... @@ -151,7 +151,7 @@
151 151  
152 152  {{formula}}
153 153  \cos(\varphi)=\frac{\text{Kirchturmhöhe} \ h}{\text{gesuchter Abstand}\ a} \ \Leftrightarrow \
154 -a=\frac{h}{\cos(\varphi)}\approx\frac{30}{\cos(42{,}0^\circ)}\approx40{,}4
106 +a=\frac{h}{\cos(\varphi)}=\frac{30}{\cos(42^\circ)}\approx40{,}4
155 155  {{/formula}}
156 156  <p></p>
157 157  Der Abstand der Turmspitze und ihrem Schattenpunkt beträgt ca. 40,4 Meter.
... ... @@ -161,11 +161,7 @@
161 161  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
162 162  //Aufgabenstellung//
163 163  <br><p>
164 -Der Kirchplatz liegt in einer zur {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Ebene parallelen Ebene. Die Spitze {{formula}} S {{/formula}} befindet sich 30 m über dem Kirchplatz.
165 -<br>
166 -An einem Sommertag scheint die Sonne in der Richtung {{formula}} \vec{v}=\begin{pmatrix}3\\ 2\\ -4\end{pmatrix} {{/formula}}. Dadurch wirft sie einen Schatten von {{formula}} S {{/formula}} auf den Kirchplatz.
167 -<br>
168 -Berechne, wie groß der Abstand der Spitze {{formula}} S {{/formula}} von deren Schattenpunkt ist.
116 +
169 169  </p>
170 170  //Lösung//
171 171  <br>
DreieckSkizze.svg
Author
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -XWiki.akukin
Größe
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -8.4 KB
Inhalt
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -<svg version="1.1" xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" xmlns:xlink="http://www.w3.org/1999/xlink" width="918" height="844"><defs><clipPath id="oOxQhGktdnfk"><path fill="none" stroke="none" d=" M 0 0 L 918 0 L 918 844 L 0 844 L 0 0 Z"/></clipPath></defs><g transform="scale(1,1)" clip-path="url(#oOxQhGktdnfk)"><g><rect fill="rgb(255,255,255)" stroke="none" x="0" y="0" width="919" height="845" fill-opacity="1"/><path fill="none" stroke="rgb(0,0,0)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 424.05601389127236 85.98936140301907 L 76.60203195097847 687.7973114161165" stroke-opacity="0.6980392156862745" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-width="2.5"/><path fill="none" stroke="rgb(0,0,0)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 424.05601389127236 85.98936140301907 L 771.5099958315662 687.7973114161165" stroke-opacity="0.6980392156862745" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-width="2.5"/><text fill="rgb(0,0,0)" stroke="none" font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="32px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" x="417" y="725" text-anchor="start" dominant-baseline="alphabetic" fill-opacity="1">g</text><path fill="none" stroke="rgb(0,0,0)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 76.60203195097847 687.7973114161165 L 771.5099958315662 687.7973114161165" stroke-opacity="0.6980392156862745" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10" stroke-width="2.5"/><text fill="rgb(0,0,0)" stroke="none" font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="32px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" x="435" y="404" text-anchor="start" dominant-baseline="alphabetic" fill-opacity="1">h</text><path fill="none" stroke="rgb(0,0,0)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 426.4922030999998 687.7973114161165 L 424.05601389127236 85.98936140301907" stroke-opacity="0.6980392156862745" stroke-linecap="round" 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683.9313181673009 72.73603870216292 680.7973114161165 76.60203195097847 680.7973114161165 C 80.46802519979403 680.7973114161165 83.60203195097847 683.9313181673009 83.60203195097847 687.7973114161165 Z" stroke-opacity="1" stroke-linecap="round" stroke-linejoin="round" stroke-miterlimit="10"/><text fill="rgb(77,77,255)" stroke="none" font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="32px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" x="49" y="723" text-anchor="start" dominant-baseline="alphabetic" fill-opacity="1">C</text><text fill="rgb(77,77,255)" stroke="none" font-family="geogebra-sans-serif, sans-serif" font-size="28px" font-style="normal" font-weight="normal" text-decoration="normal" x="72" y="737" text-anchor="start" dominant-baseline="alphabetic" fill-opacity="1">2</text><path fill="rgb(77,77,255)" stroke="none" paint-order="stroke fill markers" d=" M 778.5099958315662 687.7973114161165 C 778.5099958315662 691.6633046649321 775.3759890803818 694.7973114161165 771.5099958315662 694.7973114161165 C 767.6440025827507 694.7973114161165 764.5099958315662 691.6633046649321 764.5099958315662 687.7973114161165 C 764.5099958315662 683.9313181673009 767.6440025827507 680.7973114161165 771.5099958315662 680.7973114161165 C 775.3759890803818 680.7973114161165 778.5099958315662 683.9313181673009 778.5099958315662 687.7973114161165 Z" fill-opacity="1"/><path fill="none" stroke="rgb(0,0,0)" paint-order="fill stroke markers" d=" M 778.5099958315662 687.7973114161165 C 778.5099958315662 691.6633046649321 775.3759890803818 694.7973114161165 771.5099958315662 694.7973114161165 C 767.6440025827507 694.7973114161165 764.5099958315662 691.6633046649321 764.5099958315662 687.7973114161165 C 764.5099958315662 683.9313181673009 767.6440025827507 680.7973114161165 771.5099958315662 680.7973114161165 C 775.3759890803818 680.7973114161165 778.5099958315662 683.9313181673009 778.5099958315662 687.7973114161165 Z" stroke-opacity="1" 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1 -XWiki.akukin
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