Änderungen von Dokument Lösung Lineare Algebra

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -4,7 +4,7 @@
4	4	\begin{align*}
5	5	&A_1(3|3|0), \ A_2(-3|3|0), \\
6	6	&A_3(-3|-3|0), \ A_4(3|-3|0) \\
7		-& C'_1(3|1|0), \ C'_2(1|3|0)
	7	+& C'_1(3|1|0), C'_2(1|3|0)
8	8	\end{align*}
9	9	{{/formula}}
10	10	[[image:Lösunga).png||width="180"]]
...	...	@@ -13,24 +13,12 @@
13	13
14	14	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
15	15	//Aufgabenstellung//
16		-<br>
17		-Zeichne das Quadrat {{formula}} A_{1}A_{2}A_{3}A_{4} {{/formula}} in ein zweidimensionales {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Koordinatensystem ein.
18		-<br>
19		-Zeichne in dasselbe Koordinatensystem die orthogonalen Projektionen der Punkte {{formula}} C_{1} {{/formula}} und {{formula}} C_{2} {{/formula}} ein.
20		-<p></p>
	16	+<br><p>
	17	+
	18	+</p>
21	21	//Lösung//
22	22	<br>
23		-Gegeben sind die Punkte {{formula}}
24		-A_1(3|3|0), \ A_2(-3|3|0)
25		-{{/formula}}.
26		-<br>
27		-Da der Grundriss nach Aufgabenstellung ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 6 Metern ist, erhalten wir die fehlenden Punkte durch Verschiebung von {{formula}}A_1{{/formula}} und {{formula}}A_2{{/formula}} um 6 in negative x-Richtung: {{formula}}A_3(-3|-3|0), \ A_4(3|-3|0){{/formula}}.
28		-<p></p>
29		-Die orthogonalen Projektionen der Punkte {{formula}}C_1{{/formula}} und {{formula}} C_{2} {{/formula}} erhalten wir, indem wir die {{formula}}x_3{{/formula}} Koordinate gleich null setzen: {{formula}}
30		-C'_1(3|1|0), \ C'_2(1|3|0)
31		-{{/formula}}
32		-<br>
33		-[[image:Lösunga).png||width="180"]]
	21	+
34	34	{{/detail}}
35	35
36	36	=== Teilaufgabe b) ===
...	...	@@ -58,43 +58,10 @@
58	58	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
59	59	//Aufgabenstellung//
60	60	<br><p>
61		-Zeige, dass das Dreieck {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}} gleichseitig ist. Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}}.
	49	+
62	62	</p>
63	63	//Lösung//
64	64	<br>
65		-Wir berechnen die Seitenlängen des Dreiecks {{formula}} C_{1}B_{1}C_{2} {{/formula}}:
66		-{{formula}}
67		-\begin{align*}
68		-\Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}1-3\\3-1\\4-4\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-2\\2\\0\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+2^2+0^2}=2\sqrt{2} \\
69		-\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}3-3\\1-3\\4-2\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{0^2+(-2)^2+2^2}=2\sqrt{2} \\
70		-\Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|&=\left|\begin{pmatrix}1-3\\3-3\\4-2\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}-2\\0\\2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-2)^2+0^2+2^2}=2\sqrt{2}
71		-\end{align*}
72		-{{/formula}}
73		-<p></p>
74		-Somit gilt
75		-{{formula}}
76		-\Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_1}\Bigl|=\Bigl|\overrightarrow{B_1C_2}\Bigl|=2\sqrt2
77		-{{/formula}}.
78		-<br>
79		-Damit ist das Dreieck {{formula}}C_1B_1C_2{{/formula}} gleichseitig.
80		-<p></p>
81		-[[image:DreieckSkizze.svg||width="120" style="float: right"]]]
82		-Der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet sich durch {{formula}}A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h{{/formula}}. Um die Höhe {{formula}}h{{/formula}} des Dreieckes zu bestimmen, benötigen wir zunächst den Mittelpunkt der Strecke {{formula}}C_1C_2{{/formula}} (siehe Skizze).
83		-<br>
84		-Diesen berechnen wir durch
85		-{{formula}}
86		-M\left(\frac{3+1}{2}\Bigl| \frac{1+3}{2} \Bigl|\frac{4+4}{2}\right)=M(2|2|4)
87		-{{/formula}}.
88		-<br>
89		-Die Höhe {{formula}}h{{/formula}} ergibt sich durch
90		-{{formula}}
91		-\Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=\left|\begin{pmatrix}3-2\\3-2\\2-4\end{pmatrix}\right|=\left|\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}\right|=\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}=\sqrt{6}
92		-{{/formula}}.
93		-<br>
94		-Damit:
95		-{{formula}}
96		-A=\frac12\cdot \Bigl|\overrightarrow{C_1C_2}\Bigl| \cdot \Bigl|\overrightarrow{MB_1}\Bigl|=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{6}=2\sqrt3
97		-{{/formula}}
98	98	{{/detail}}
99	99
100	100	=== Teilaufgabe c) ===
...	...	@@ -113,11 +113,9 @@
113	113
114	114	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
115	115	//Aufgabenstellung//
116		-<br>
117		-Vier der acht Dreiecksflächen des Daches sind parallel zu den jeweils unterhalb liegenden Dreiecksflächen.
118		-<br>
119		-Ermittle die Koordinaten der Spitze {{formula}} S {{/formula}}.
120		-<p></p>
	71	+<br><p>
	72	+
	73	+</p>
121	121	//Lösung//
122	122	<br>
123	123	{{/detail}}
...	...	@@ -131,9 +131,7 @@
131	131	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
132	132	//Aufgabenstellung//
133	133	<br><p>
134		-Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} D_{1}D_{2} {{/formula}} ist {{formula}} M {{/formula}}. Der Mittelpunkt der Strecke {{formula}} D_{2}D_{3} {{/formula}} ist {{formula}} N {{/formula}}.
135		-<br>
136		-Begründe, dass die Strecken {{formula}} MS {{/formula}} und {{formula}} NS {{/formula}} unterschiedliche Neigungswinkel haben.
	87	+
137	137	</p>
138	138	//Lösung//
139	139	<br>
...	...	@@ -161,11 +161,7 @@
161	161	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
162	162	//Aufgabenstellung//
163	163	<br><p>
164		-Der Kirchplatz liegt in einer zur {{formula}} x_{1}x_{2} {{/formula}}-Ebene parallelen Ebene. Die Spitze {{formula}} S {{/formula}} befindet sich 30 m über dem Kirchplatz.
165		-<br>
166		-An einem Sommertag scheint die Sonne in der Richtung {{formula}} \vec{v}=\begin{pmatrix}3\\ 2\\ -4\end{pmatrix} {{/formula}}. Dadurch wirft sie einen Schatten von {{formula}} S {{/formula}} auf den Kirchplatz.
167		-<br>
168		-Berechne, wie groß der Abstand der Spitze {{formula}} S {{/formula}} von deren Schattenpunkt ist.
	115	+
169	169	</p>
170	170	//Lösung//
171	171	<br>