2025 eAN - Teil B - Stochastik - Aufgabensatz I

Aufgabe 1  Stochastik

An einem Tag kommen durchschnittlich 8 500 Besucher in ein Wintersportgebiet. 20% der Besucher können Snowboard fahren.

1. [1 BE] Berechne, wie viele Besucher des Wintersportgebiets an einem Tag erwartungsgemäß Snowboard fahren können.

40% der Besucher, die Snowboard fahren können, können auch Ski fahren. 5% aller Besucher können weder Ski noch Snowboard fahren.

2. [7 BE] Ermittle jeweils die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse:
   A: Ein Besucher kann Ski fahren.
   B: Ein Besucher kann Ski, aber kein Snowboard fahren.
   C: Ein Besucher, der Ski fahren kann, kann auch Snowboard fahren.

Die Zufallsgröße \( Y \) gibt die von einem Besucher an einem Tag zurückgelegten Kilometer auf der Piste an und ist normalverteilt mit \( \mu=22{,}5 \) und \( \sigma=5{,}5 \).

3. [3 BE] Bestimme die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die von einem Skifahrer an einem Tag auf der Piste zurückgelegten Kilometer um nicht mehr als eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen.
4. [3 BE] Für ein \( a>0 \) liegen bei 35% aller Skifahrer die pro Tag auf der Piste zurückgelegten Kilometer im Intervall \( [22{,}5-a; \ 22{,}5+a] \).
   Ermittle den Wert von \( a \) auf eine Nachkommastelle genau.

Die Abbildung zeigt einen vereinfachten Ausschnitt des Pistenplans im Wintersportgebiet.

Besucher, die am Gipfel stehen, fahren mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 Piste ①. Danach nehmen sie entweder den Lift I zurück auf den Gipfel oder fahren Piste ②. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,3 nehmen die Besucher Lift I zurück auf den Gipfel.

Nach der Fahrt auf Piste ② nehmen Besucher mit einer Wahrscheinlichkeit \( p \) mit \( 0<p<1 \) den Lift II. Alle anderen nehmen den Lift III.

Betrachtet werden Besucher, die vom Gipfel zur Hütte fahren und dabei noch genau eine Liftfahrt machen. Diese kommen mit einer höheren Wahrscheinlichkeit über die Piste ③ an als über den Lift III.

5. [6 BE] Berechne, welchen Wert \( p \) mindestens hat.