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Wiki-Quellcode von Tipp Stochastik

Version 2.1 von akukin am 2026/02/01 16:21
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Hinweis"}}
3 Der Anteil an Besuchern, die Snowboard fahren können, beträgt 20%(0,02). Bei 8500 Besuchern ergibt sich somit ?
4 {{/detail}}
5
6 === Teilaufgabe b) ===
7 {{detail summary="Hinweis 1"}}
8 Definiere folgendes Ereignis:
9 <br>
10 {{formula}}S{{/formula}}: Besucher kann Snowboard fahren
11 <br>
12 Gesucht sind die Wahrscheinlichkeiten
13 * {{formula}}P(A){{/formula}},
14 * {{formula}}P(B)=P(A\cap \overline{S}){{/formula}} und
15 * {{formula}}P(C)=P_A(S){{/formula}}
16 {{/detail}}
17
18
19 {{detail summary="Hinweis 2"}}
20 Erstelle zur Übersicht eine Vierfeldertafel mit den Ereignissen {{formula}}S{{/formula}} und {{formula}}A{{/formula}}.
21 {{/detail}}
22
23
24 {{detail summary="Hinweis 3"}}
25 20% der Besucher fahren Snowboard. Somit:
26 <br>
27 (%class="border" style="width:30%" %)
28 | |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}| 
29 |{{formula}}S{{/formula}}|||{{formula}}0{,}2{{/formula}}
30 |{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|||
31 ||||{{formula}}1{{/formula}}
32 {{/detail}}
33
34
35 {{detail summary="Hinweis 4"}}
36 5% aller Besucher weder Ski noch Snowboard fahren, das heißt {{formula}}P(\overline{S}\cap\overline{A})=0{,}05{{/formula}}
37 {{/detail}}
38
39
40 {{detail summary="Hinweis 5"}}
41 40% der Besucher, die Snowboard fahren können, auch Ski fahren.
42 <br>
43 Somit ist {{formula}}P_S(A)=\frac{P(S\cap A)}{P(S)}=0{,}4{{/formula}}.
44 <br>
45 Wie kannst du die Gleichung umstellen, um einen weiteren Eintrag für die Vierfeldertafel zu erhalten?
46 {{/detail}}
47
48
49 {{detail summary="Hinweis 6"}}
50 40% der Besucher, die Snowboard fahren können, auch Ski fahren.
51 <br>
52 Somit ist {{formula}}P_S(A)=\frac{P(S\cap A)}{P(S)}=0{,}4{{/formula}}
53 <br>
54 Umstellen liefert:
55 {{formula}}P(S\cap A)=P_S(A)\cdot P(S)=0{,}4\cdot 0{,}2=0{,}08{{/formula}}
56 {{/detail}}
57
58
59 {{detail summary="Hinweis 7"}}
60 Bisher sieht die Vierfeldertafel so aus:
61 (%class="border" style="width:30%" %)
62 | |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}| 
63 |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}0{,}08{{/formula}}||{{formula}}0{,}2{{/formula}}
64 |{{formula}}\overline{S}{{/formula}}||{{formula}}0{,}05{{/formula}}|
65 ||||{{formula}}1{{/formula}}
66
67 Berechne nun jeweils die Zeilen- und Spaltensummen, um die Vierfeldertafel weiter auszufüllen.
68 {{/detail}}
69
70
71 {{detail summary="Hinweis 8"}}
72 Durch Berechnen der Zeilen- und Spaltensummen erhältst du:
73 (%class="border" style="width:30%" %)
74 | |{{formula}}A{{/formula}}|{{formula}}\overline{A}{{/formula}}| 
75 |{{formula}}S{{/formula}}|{{formula}}0{,}08{{/formula}}||{{formula}}0{,}2{{/formula}}
76 |{{formula}}\overline{S}{{/formula}}|{{formula}}0{,}75{{/formula}}|{{formula}}0{,}05{{/formula}}|{{formula}}0{,}8{{/formula}}
77 ||{{formula}}0{,}83{{/formula}}||{{formula}}1{{/formula}}
78
79 Nun kannst du die gesuchten Wahrscheinlichkeiten ablesen/berechnen.
80 {{/detail}}
81
82 === Teilaufgabe c) ===
83 {{detail summary="Hinweis"}}
84 Zu berechnen ist {{formula}}P(\mu-\frac{\sigma}{2}\le X \le \mu+\frac{\sigma}{2}){{/formula}}
85 <br>
86 Verwende dazu im Taschenrechner Normal CD.
87 {{/detail}}
88
89 === Teilaufgabe d) ===
90 {{detail summary="Hinweis 1"}}
91 Wir wissen:
92 {{formula}}
93 P(22{,}5-a\le Y\le22{,}5+a)=0{,}35
94 {{/formula}}
95 <br>
96 Was gilt für {{formula}}P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a){{/formula}}?
97 {{/detail}}
98
99
100 {{detail summary="Hinweis 2"}}
101 Da das Intervall symmetrisch um den Erwartungswert liegt, gilt für die rechte Seite der Verteilung:
102 <br>
103 {{formula}}P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a) = \frac{0{,}35}{2} = 0{,}175{{/formula}}
104 {{/detail}}
105
106
107 {{detail summary="Hinweis 3"}}
108 {{formula}}P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a)= P(Y \le 22{,}5+a) - P(Y \le 22{,}5){{/formula}}
109 <br>
110 {{formula}}P(Y \le 22{,}5+a)=?{{/formula}}
111 {{/detail}}
112
113
114 {{detail summary="Hinweis 4"}}
115 {{formula}}P(Y \le 22{,}5+a)=P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a)+P(Y \le 22{,}5)= 0{,}175 +0{,}5 = 0{,}675 {{/formula}}
116 {{/detail}}
117
118
119 {{detail summary="Hinweis 5"}}
120 {{formula}}P(Y \le 22{,}5+a)=P(22{,}5 \le Y \le 22{,}5 + a)+P(Y \le 22{,}5)= 0{,}175 +0{,}5 = 0{,}675 {{/formula}}
121 <br>
122 Bestimme nun {{formula}}a{{/formula}} (bzw. {{formula}}22{,}5 + a{{/formula}}) mit deinem Taschenrechner über die Inverse Normalverteilung.
123 {{/detail}}
124
125 === Teilaufgabe e) ===
126 {{detail summary="Hinweis 1"}}
127 Für Besucher, die mit genau einer Liftfahrt vom Gipfel zur Hütte fahren, werden folgende Ereignisse betrachtet:
128 <br>
129 ③: Besucher kommt über Piste 3 bei der Hütte an
130 <br>
131 Ⅲ: Besucher kommt über Lift Ⅲ bei der Hütte an.
132 {{/detail}}
133
134
135 {{detail summary="Hinweis 2"}}
136 Welche Wege kommen jeweils für das Ereignis ③ und das Ereignis Ⅲ in Frage?
137 {{/detail}}
138
139
140 {{detail summary="Hinweis 3"}}
141 Für das Ereignis ③ kommen zwei mögliche Wege in Frage:
142 <br>
143 1. Weg 1: {{formula}}\text{Gipfel} \to \text{Piste ①} \to \text{Piste ②} \to \text{Lift Ⅱ} \to \text{Gipfel} \to \text{Piste ③}{{/formula}}
144 <br>
145 mit der Wahrscheinlichkeit {{formula}}P(\text{Weg 1}) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 \cdot p \cdot 0{,}4 = 0{,}168 \cdot p{{/formula}}
146 1. Weg 2: {{formula}}\text{Gipfel} \to \text{Piste ①} \to \text{Lift Ⅰ} \to \text{Gipfel} \to \text{Piste ③}{{/formula}}
147
148 <p></p>
149 Für das Ereignis Ⅲ kommt nur ein möglicher Weg in Frage:
150 {{formula}}\text{Gipfel} \underset{\small{0{,}6}}{\to} \text{Piste ①} \underset{\small{0{,}7}}{\to} \text{Piste ②} \underset{\small{1-p}}{\to} \text{Lift Ⅲ}{{/formula}}
151 {{/detail}}
152
153
154 {{detail summary="Hinweis 4"}}
155 Es gilt:
156 {{formula}}P(③)>P(Ⅲ){{/formula}}
157 {{/detail}}
158
159
160 {{detail summary="Hinweis 5"}}
161 {{formula}}P(③)=P(\text{Weg 1})+P(\text{Weg 2})= 0{,}6 \cdot 0{,}7 \cdot p \cdot 0{,}4+0{,}6 \cdot 0{,}3 \cdot (1-0{,}6){{/formula}}
162 <br>
163 {{formula}}P(Ⅲ) = 0{,}6 \cdot 0{,}7 \cdot (1-p) = 0{,}42 \cdot (1-p){{/formula}}
164 {{/detail}}