Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -21,11 +21,41 @@
21	21	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
22	22	//Aufgabenstellung//
23	23	<br><p>
24		-
	24	+Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
	25	+<br>
	26	+A: In dieser Gruppe bestehen genau 125 Bewerber das Diktat.
	27	+<br>
	28	+B: In dieser Gruppe bestehen mindestens 60% der Bewerber das Diktat.
25	25	</p>
26	26	//Lösung//
	31	+Wir definieren die Zufallsvariable
27	27	<br>
28		-
	33	+{{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen
	34	+<br>
	35	+{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=200{{/formula}} und {{formula}}p=0{,}65{{/formula}}.
	36	+<p></p>
	37	+Wir berechnen mit dem WTR (binomialpdf) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 125 Bewerber bestehen:
	38	+<br>
	39	+{{formula}}
	40	+P(A)=P(X=125)\approx0{,}044
	41	+{{/formula}}
	42	+<br>
	43	+Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass mindestens 60% das Diktat bestehen, bestimmen wir zunächst 60% von 200:
	44	+{{formula}}
	45	+0{,}6\cdot200=120
	46	+{{/formula}}
	47	+<br>
	48	+Somit ist
	49	+<br>
	50	+{{formula}}
	51	+P(B)=P(X\ge 120)
	52	+{{/formula}}
	53	+<br>
	54	+Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
	55	+<br>
	56	+{{formula}}
	57	+P(B)=P(X\ge120)=1-P(X\le119)\approx0{,}939
	58	+{{/formula}}
29	29	{{/detail}}
30	30
31	31	=== Teilaufgabe b) ===
...	...	@@ -48,10 +48,37 @@
48	48	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
49	49	//Aufgabenstellung//
50	50	<br><p>
51		-
	81	+Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen, um höchstens eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht.
52	52	</p>
53	53	//Lösung//
54	54	<br>
	85	+Der Erwartungswert ist gegeben durch
	86	+<br>
	87	+{{formula}}
	88	+\mu=n\cdot p=200\cdot0{,}65=130
	89	+{{/formula}}.
	90	+<br>
	91	+Die Standardabweichung beträgt
	92	+<br>
	93	+{{formula}}
	94	+\sigma=\sqrt{n\cdot (1-p)\cdot p }=\sqrt{200\cdot0{,}35\cdot0{,}65}\approx6{,}75
	95	+{{/formula}}.
	96	+<p></p>
	97	+Gesucht ist somit die Wahrscheinlichkeit
	98	+<br>
	99	+{{formula}}
	100	+\begin{align*}
	101	+P\left(|X-\mu|\le\frac{1}{2}\sigma\right)&=P\left(130-\frac{6{,}75}{2}\le X \le 130+\frac{6{,}75}{2}\right) \\
	102	+&=P(126{,}625\le X\le 133{,}375) \\
	103	+&=P(127\le X\le 133)
	104	+\end{align*}
	105	+{{/formula}}.
	106	+<br>
	107	+Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
	108	+<br>
	109	+{{formula}}
	110	+P(X\le133)-P(X\le126)\approx 0{,}696 - 0{,}300=0{,}396
	111	+{{/formula}}
55	55	{{/detail}}
56	56
57	57	=== Teilaufgabe c) ===
...	...	@@ -63,10 +63,25 @@
63	63	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
64	64	//Aufgabenstellung//
65	65	<br><p>
66		-
	123	+Erläutere in Bezug auf die Anwendungssituation, zu welchem Ereignis die Wahrscheinlichkeit mit folgendem Term berechnet wird:
	124	+<br>
	125	+{{formula}} 1-\sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}
67	67	</p>
68	68	//Lösung//
69	69	<br>
	129	+Wir betrachten zunächst den Term
	130	+<br>
	131	+{{formula}} \sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}.
	132	+<br>
	133	+Durch den Term wird eine kumulierte Binomialverteilung beschrieben. Dabei ist {{formula}}p=0{,}35{{/formula}}, das heißt, es wird die Anzahl der Bewerber betrachtet, die das Diktat nicht bestehen.
	134	+Da die Summe von {{formula}}i=0{{/formula}} bis {{formula}}i=30{{/formula}} läuft, wird durch den Term die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass höchstens 30 Bewerber das Diktat nicht bestehen.
	135	+
	136	+<p></p>
	137	+Da durch {{formula}}1-\dots{{/formula}} die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnet wird, wird durch den Gesamtterm
	138	+<br>
	139	+{{formula}} 1-\sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}
	140	+<br>
	141	+die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass mehr als 30 Bewerber das Diktat nicht bestehen.
70	70	{{/detail}}
71	71
72	72	=== Teilaufgabe d) ===
...	...	@@ -88,10 +88,37 @@
88	88	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
89	89	//Aufgabenstellung//
90	90	<br><p>
91		-
	163	+Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat.
92	92	</p>
93	93	//Lösung//
94	94	<br>
	167	+Es gilt:
	168	+<br>
	169	+{{formula}}
	170	+P(D)=P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=0{,}65
	171	+{{/formula}}
	172	+<br>
	173	+Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt {{formula}}P(A\cap D)=P(A)\cdot P_A(D){{/formula}} und {{formula}}P(A\cap D)=P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(D)=(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D){{/formula}}
	174	+<br>
	175	+und somit:
	176	+<br>
	177	+{{formula}}
	178	+P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=P(A)\cdot P_A(D)+(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D)=0{,}65
	179	+{{/formula}}
	180	+<p></p>
	181	+Wir setzen nun {{formula}}P_A(D)=0{,}8{{/formula}} und {{formula}}P_{\overline{A}}(D)=0{,}55{{/formula}} ein und stellen um nach {{formula}}P(A){{/formula}}:
	182	+<p></p>
	183	+{{formula}}
	184	+\begin{align*}
	185	+ & & P(A)\cdot 0{,}8+(1-P(A))\cdot 0{,}55 &= 0{,}65 \\
	186	+\Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)+0{,}55-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}65 &&\mid -0{,}55\\
	187	+\Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}1 \\
	188	+\Leftrightarrow & \quad & 0{,}25\cdot P(A) &= 0{,}1 &&\mid :0{,}25\\
	189	+\Leftrightarrow & \quad & P(A) &= 0{,}4
	190	+\end{align*}
	191	+{{/formula}}
	192	+<br>
	193	+Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat beträgt somit {{formula}}P(A)=0{,}4{{/formula}}.
95	95	{{/detail}}
96	96
97	97	=== Teilaufgabe e) ===
...	...	@@ -99,13 +99,19 @@
99	99	{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die ein positives Testergebnis haben
100	100	<br>
101	101	{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=5{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}p{{/formula}}.
102		-
	201	+<br>
103	103	{{formula}}
104		-P(Y\ge1)\approx0{,}141 \Leftrightarrow
105		-P(Y=0)=1-P(Y\geq 1)\approx 0{,}859 \Leftrightarrow
106		-(1-p)^5\approx0{,}859 \Leftrightarrow
107		-1-p\approx\sqrt[5]{0{,}859} \Leftrightarrow
108		-p\approx0{,}030
	203	+\begin{align*}
	204	+& & P(Y\ge1)&\approx0{,}141 \\
	205	+\Leftrightarrow & \quad &
	206	+P(Y=0)=1-P(Y\geq 1)&\approx 0{,}859 \\
	207	+\Leftrightarrow & \quad &
	208	+(1-p)^5 &\approx0{,}859 \\
	209	+\Leftrightarrow & \quad &
	210	+1-p &\approx\sqrt[5]{0{,}859} \\
	211	+\Leftrightarrow & \quad &
	212	+p &\approx0{,}030
	213	+\end{align*}
109	109	{{/formula}}
110	110	{{/detail}}
111	111
...	...	@@ -113,10 +113,38 @@
113	113	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
114	114	//Aufgabenstellung//
115	115	<br><p>
116		-
	221	+Aus den fünf Bewerbern wird einer zufällig ausgewählt.
	222	+<br>
	223	+Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser ein positives Testergebnis hat.
117	117	</p>
118	118	//Lösung//
119	119	<br>
	227	+Wir definieren:
	228	+<br>
	229	+{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die ein positives Testergebnis haben
	230	+<br>
	231	+{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=5{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}p{{/formula}}.
	232	+<p></p>
	233	+Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der fünf Bewerber ein positives Testergebnis hat gerundet 14,1% beträgt. Das heißt, es gilt
	234	+{{formula}}P(Y\ge1)\approx0{,}141{{/formula}}.
	235	+<br>
	236	+Da {{formula}}Y=0{{/formula}} das Gegenereignis ist zu {{formula}}Y\ge 1{{/formula}}, gilt {{formula}}P(Y=0)=1-P(Y\ge 1)\approx 1-0{,}141=0{,}859{{/formula}} (um die Rechnung zu vereinfachen rechnen wir mit der Gegenwahrscheinlichkeit).
	237	+<br>
	238	+Mit der Bernoulli-Formel erhalten wir {{formula}}P(Y=0)= \binom{5}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{5-0} = (1-p)^5{{/formula}}, wobei {{formula}}p{{/formula}} die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis ist.
	239	+<p></p>
	240	+Insgesamt erhalten wir somit:
	241	+<br>
	242	+{{formula}}
	243	+\begin{align*}
	244	+ & & P(Y\ge1) &\approx 0{,}141 \\
	245	+\Leftrightarrow & \quad & P(Y=0) &\approx 0{,}859 \\
	246	+\Leftrightarrow & \quad & (1-p)^5 &\approx 0{,}859 \\
	247	+\Leftrightarrow & \quad & 1-p &\approx \sqrt[5]{0{,}859} \\
	248	+\Leftrightarrow & \quad & p &\approx 0{,}030
	249	+\end{align*}
	250	+{{/formula}}
	251	+<br>
	252	+Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber ein positives Testergebnis hat, beträgt somit ungefähr {{formula}}0{,}030{{/formula}}.
120	120	{{/detail}}
121	121
122	122