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Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

Zuletzt geändert von Anna Kukin am 2026/02/16 17:59
Von Version 2.1
bearbeitet von Anna Kukin
am 2026/02/13 19:46
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bearbeitet von Anna Kukin
am 2026/02/16 17:37
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -48,7 +48,7 @@
48 48  Somit ist
49 49  <br>
50 50  {{formula}}
51 -P(B)=P(X\ge120)
51 +P(B)=P(X\ge 120)
52 52  {{/formula}}
53 53  <br>
54 54  Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
... ... @@ -97,7 +97,11 @@
97 97  Gesucht ist somit die Wahrscheinlichkeit
98 98  <br>
99 99  {{formula}}
100 -P\left(|X-\mu|\le\frac{1}{2}\sigma\right)=P\left(130-\frac{6{,}75}{2}\le X \le 130+\frac{6{,}75}{2}\right)=P(126{,}625\le X\le 133{,}375)=P(127\le X\le 133)
100 +\begin{align*}
101 +P\left(|X-\mu|\le\frac{1}{2}\sigma\right)&=P\left(130-\frac{6{,}75}{2}\le X \le 130+\frac{6{,}75}{2}\right) \\
102 +&=P(126{,}625\le X\le 133{,}375) \\
103 +&=P(127\le X\le 133)
104 +\end{align*}
101 101  {{/formula}}.
102 102  <br>
103 103  Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
... ... @@ -160,6 +160,33 @@
160 160  </p>
161 161  //Lösung//
162 162  <br>
167 +Es gilt:
168 +<br>
169 +{{formula}}
170 +P(D)=P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=0{,}65
171 +{{/formula}}
172 +<br>
173 +Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt {{formula}}P(A\cap D)=P(A)\cdot P_A(D){{/formula}} und {{formula}}P(A\cap D)=P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(D)=(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D){{/formula}}
174 +<br>
175 +und somit:
176 +<br>
177 +{{formula}}
178 +P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=P(A)\cdot P_A(D)+(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D)=0{,}65
179 +{{/formula}}
180 +<p></p>
181 +Wir setzen nun {{formula}}P_A(D)=0{,}8{{/formula}} und {{formula}}P_{\overline{A}}(D)=0{,}55{{/formula}} ein und stellen um nach {{formula}}P(A){{/formula}}:
182 +<p></p>
183 +{{formula}}
184 +\begin{align*}
185 + & & P(A)\cdot 0{,}8+(1-P(A))\cdot 0{,}55 &= 0{,}65 \\
186 +\Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)+0{,}55-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}65 &&\mid -0{,}55\\
187 +\Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}1 \\
188 +\Leftrightarrow & \quad & 0{,}25\cdot P(A) &= 0{,}1 &&\mid :0{,}25\\
189 +\Leftrightarrow & \quad & P(A) &= 0{,}4
190 +\end{align*}
191 +{{/formula}}
192 +<br>
193 +Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat beträgt somit {{formula}}P(A)=0{,}4{{/formula}}.
163 163  {{/detail}}
164 164  
165 165  === Teilaufgabe e) ===
... ... @@ -167,13 +167,19 @@
167 167  {{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die ein positives Testergebnis haben
168 168  <br>
169 169  {{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=5{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}p{{/formula}}.
170 -
201 +<br>
171 171  {{formula}}
172 -P(Y\ge1)\approx0{,}141 \Leftrightarrow
173 -P(Y=0)=1-P(Y\geq 1)\approx 0{,}859 \Leftrightarrow
174 -(1-p)^5\approx0{,}859 \Leftrightarrow
175 -1-p\approx\sqrt[5]{0{,}859} \Leftrightarrow
176 -p\approx0{,}030
203 +\begin{align*}
204 +& & P(Y\ge1)&\approx0{,}141 \\
205 +\Leftrightarrow & \quad &
206 +P(Y=0)=1-P(Y\geq 1)&\approx 0{,}859 \\
207 +\Leftrightarrow & \quad &
208 +(1-p)^5 &\approx0{,}859 \\
209 +\Leftrightarrow & \quad &
210 +1-p &\approx\sqrt[5]{0{,}859} \\
211 +\Leftrightarrow & \quad &
212 +p &\approx0{,}030
213 +\end{align*}
177 177  {{/formula}}
178 178  {{/detail}}
179 179  
... ... @@ -187,6 +187,32 @@
187 187  </p>
188 188  //Lösung//
189 189  <br>
227 +Wir definieren:
228 +<br>
229 +{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die ein positives Testergebnis haben
230 +<br>
231 +{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=5{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}p{{/formula}}.
232 +<p></p>
233 +Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der fünf Bewerber ein positives Testergebnis hat gerundet 14,1% beträgt. Das heißt, es gilt
234 +{{formula}}P(Y\ge1)\approx0{,}141{{/formula}}.
235 +<br>
236 +Da {{formula}}Y=0{{/formula}} das Gegenereignis ist zu {{formula}}Y\ge 1{{/formula}}, gilt {{formula}}P(Y=0)=1-P(Y\ge 1)\approx 1-0{,}141=0{,}859{{/formula}} (um die Rechnung zu vereinfachen rechnen wir mit der Gegenwahrscheinlichkeit).
237 +<br>
238 +Mit der Bernoulli-Formel erhalten wir {{formula}}P(Y=0)= \binom{5}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{5-0} = (1-p)^5{{/formula}}, wobei {{formula}}p{{/formula}} die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis ist.
239 +<p></p>
240 +Insgesamt erhalten wir somit:
241 +<br>
242 +{{formula}}
243 +\begin{align*}
244 + & & P(Y\ge1) &\approx 0{,}141 \\
245 +\Leftrightarrow & \quad & P(Y=0) &\approx 0{,}859 \\
246 +\Leftrightarrow & \quad & (1-p)^5 &\approx 0{,}859 \\
247 +\Leftrightarrow & \quad & 1-p &\approx \sqrt[5]{0{,}859} \\
248 +\Leftrightarrow & \quad & p &\approx 0{,}030
249 +\end{align*}
250 +{{/formula}}
251 +<br>
252 +Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber ein positives Testergebnis hat, beträgt somit ungefähr {{formula}}0{,}030{{/formula}}.
190 190  {{/detail}}
191 191  
192 192