Änderungen von Dokument Lösung Stochastik

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -21,41 +21,11 @@
21	21	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
22	22	//Aufgabenstellung//
23	23	<br><p>
24		-Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse:
25		-<br>
26		-A: In dieser Gruppe bestehen genau 125 Bewerber das Diktat.
27		-<br>
28		-B: In dieser Gruppe bestehen mindestens 60% der Bewerber das Diktat.
	24	+
29	29	</p>
30	30	//Lösung//
31		-Wir definieren die Zufallsvariable
32	32	<br>
33		-{{formula}}X{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen
34		-<br>
35		-{{formula}}X{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=200{{/formula}} und {{formula}}p=0{,}65{{/formula}}.
36		-<p></p>
37		-Wir berechnen mit dem WTR (binomialpdf) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau 125 Bewerber bestehen:
38		-<br>
39		-{{formula}}
40		-P(A)=P(X=125)\approx0{,}044
41		-{{/formula}}
42		-<br>
43		-Um die Wahrscheinlichkeit dafür zu bestimmen, dass mindestens 60% das Diktat bestehen, bestimmen wir zunächst 60% von 200:
44		-{{formula}}
45		-0{,}6\cdot200=120
46		-{{/formula}}
47		-<br>
48		-Somit ist
49		-<br>
50		-{{formula}}
51		-P(B)=P(X\ge 120)
52		-{{/formula}}
53		-<br>
54		-Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
55		-<br>
56		-{{formula}}
57		-P(B)=P(X\ge120)=1-P(X\le119)\approx0{,}939
58		-{{/formula}}
	28	+
59	59	{{/detail}}
60	60
61	61	=== Teilaufgabe b) ===
...	...	@@ -78,37 +78,10 @@
78	78	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
79	79	//Aufgabenstellung//
80	80	<br><p>
81		-Bestimme die Wahrscheinlichkeit, dass die Anzahl der Bewerber, die das Diktat bestehen, um höchstens eine halbe Standardabweichung vom Erwartungswert dieser Anzahl abweicht.
	51	+
82	82	</p>
83	83	//Lösung//
84	84	<br>
85		-Der Erwartungswert ist gegeben durch
86		-<br>
87		-{{formula}}
88		-\mu=n\cdot p=200\cdot0{,}65=130
89		-{{/formula}}.
90		-<br>
91		-Die Standardabweichung beträgt
92		-<br>
93		-{{formula}}
94		-\sigma=\sqrt{n\cdot (1-p)\cdot p }=\sqrt{200\cdot0{,}35\cdot0{,}65}\approx6{,}75
95		-{{/formula}}.
96		-<p></p>
97		-Gesucht ist somit die Wahrscheinlichkeit
98		-<br>
99		-{{formula}}
100		-\begin{align*}
101		-P\left(|X-\mu|\le\frac{1}{2}\sigma\right)&=P\left(130-\frac{6{,}75}{2}\le X \le 130+\frac{6{,}75}{2}\right) \\
102		-&=P(126{,}625\le X\le 133{,}375) \\
103		-&=P(127\le X\le 133)
104		-\end{align*}
105		-{{/formula}}.
106		-<br>
107		-Da der Taschenrechner nur Wahrscheinlichkeiten {{formula}}P(X\le m){{/formula}} berechnen kann, schreiben wir die gesuchte Wahrscheinlichkeit um und berechnen mit binomialcdf:
108		-<br>
109		-{{formula}}
110		-P(X\le133)-P(X\le126)\approx 0{,}696 - 0{,}300=0{,}396
111		-{{/formula}}
112	112	{{/detail}}
113	113
114	114	=== Teilaufgabe c) ===
...	...	@@ -120,25 +120,10 @@
120	120	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
121	121	//Aufgabenstellung//
122	122	<br><p>
123		-Erläutere in Bezug auf die Anwendungssituation, zu welchem Ereignis die Wahrscheinlichkeit mit folgendem Term berechnet wird:
124		-<br>
125		-{{formula}} 1-\sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}
	66	+
126	126	</p>
127	127	//Lösung//
128	128	<br>
129		-Wir betrachten zunächst den Term
130		-<br>
131		-{{formula}} \sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}.
132		-<br>
133		-Durch den Term wird eine kumulierte Binomialverteilung beschrieben. Dabei ist {{formula}}p=0{,}35{{/formula}}, das heißt, es wird die Anzahl der Bewerber betrachtet, die das Diktat nicht bestehen.
134		-Da die Summe von {{formula}}i=0{{/formula}} bis {{formula}}i=30{{/formula}} läuft, wird durch den Term die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass höchstens 30 Bewerber das Diktat nicht bestehen.
135		-
136		-<p></p>
137		-Da durch {{formula}}1-\dots{{/formula}} die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnet wird, wird durch den Gesamtterm
138		-<br>
139		-{{formula}} 1-\sum_{i=0}^{30}\binom{200}{i}\cdot0{,}35^{i}\cdot0{,}65^{200-i} {{/formula}}
140		-<br>
141		-die Wahrscheinlichkeit dafür berechnet, dass mehr als 30 Bewerber das Diktat nicht bestehen.
142	142	{{/detail}}
143	143
144	144	=== Teilaufgabe d) ===
...	...	@@ -160,37 +160,10 @@
160	160	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
161	161	//Aufgabenstellung//
162	162	<br><p>
163		-Ermittle die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat.
	91	+
164	164	</p>
165	165	//Lösung//
166	166	<br>
167		-Es gilt:
168		-<br>
169		-{{formula}}
170		-P(D)=P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=0{,}65
171		-{{/formula}}
172		-<br>
173		-Mit der Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit folgt {{formula}}P(A\cap D)=P(A)\cdot P_A(D){{/formula}} und {{formula}}P(A\cap D)=P(\overline{A})\cdot P_{\overline{A}}(D)=(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D){{/formula}}
174		-<br>
175		-und somit:
176		-<br>
177		-{{formula}}
178		-P(A\cap D)+ P(\overline{A}\cap D)=P(A)\cdot P_A(D)+(1-P(A))\cdot P_{\overline{A}}(D)=0{,}65
179		-{{/formula}}
180		-<p></p>
181		-Wir setzen nun {{formula}}P_A(D)=0{,}8{{/formula}} und {{formula}}P_{\overline{A}}(D)=0{,}55{{/formula}} ein und stellen um nach {{formula}}P(A){{/formula}}:
182		-<p></p>
183		-{{formula}}
184		-\begin{align*}
185		- & & P(A)\cdot 0{,}8+(1-P(A))\cdot 0{,}55 &= 0{,}65 \\
186		-\Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)+0{,}55-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}65 &&\mid -0{,}55\\
187		-\Leftrightarrow & \quad & 0{,}8\cdot P(A)-0{,}55\cdot P(A) &= 0{,}1 \\
188		-\Leftrightarrow & \quad & 0{,}25\cdot P(A) &= 0{,}1 &&\mid :0{,}25\\
189		-\Leftrightarrow & \quad & P(A) &= 0{,}4
190		-\end{align*}
191		-{{/formula}}
192		-<br>
193		-Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber das Abitur als höchsten Schulabschluss hat beträgt somit {{formula}}P(A)=0{,}4{{/formula}}.
194	194	{{/detail}}
195	195
196	196	=== Teilaufgabe e) ===
...	...	@@ -198,19 +198,13 @@
198	198	{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die ein positives Testergebnis haben
199	199	<br>
200	200	{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=5{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}p{{/formula}}.
201		-<br>
	102	+
202	202	{{formula}}
203		-\begin{align*}
204		-& & P(Y\ge1)&\approx0{,}141 \\
205		-\Leftrightarrow & \quad &
206		-P(Y=0)=1-P(Y\geq 1)&\approx 0{,}859 \\
207		-\Leftrightarrow & \quad &
208		-(1-p)^5 &\approx0{,}859 \\
209		-\Leftrightarrow & \quad &
210		-1-p &\approx\sqrt[5]{0{,}859} \\
211		-\Leftrightarrow & \quad &
212		-p &\approx0{,}030
213		-\end{align*}
	104	+P(Y\ge1)\approx0{,}141 \Leftrightarrow
	105	+P(Y=0)=1-P(Y\geq 1)\approx 0{,}859 \Leftrightarrow
	106	+(1-p)^5\approx0{,}859 \Leftrightarrow
	107	+1-p\approx\sqrt[5]{0{,}859} \Leftrightarrow
	108	+p\approx0{,}030
214	214	{{/formula}}
215	215	{{/detail}}
216	216
...	...	@@ -218,38 +218,10 @@
218	218	{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
219	219	//Aufgabenstellung//
220	220	<br><p>
221		-Aus den fünf Bewerbern wird einer zufällig ausgewählt.
222		-<br>
223		-Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass dieser ein positives Testergebnis hat.
	116	+
224	224	</p>
225	225	//Lösung//
226	226	<br>
227		-Wir definieren:
228		-<br>
229		-{{formula}}Y{{/formula}}: Anzahl der Bewerber, die ein positives Testergebnis haben
230		-<br>
231		-{{formula}}Y{{/formula}} ist binomialverteilt mit {{formula}}n=5{{/formula}} und unbekanntem {{formula}}p{{/formula}}.
232		-<p></p>
233		-Wir wissen, dass die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einer der fünf Bewerber ein positives Testergebnis hat gerundet 14,1% beträgt. Das heißt, es gilt
234		-{{formula}}P(Y\ge1)\approx0{,}141{{/formula}}.
235		-<br>
236		-Da {{formula}}Y=0{{/formula}} das Gegenereignis ist zu {{formula}}Y\ge 1{{/formula}}, gilt {{formula}}P(Y=0)=1-P(Y\ge 1)\approx 1-0{,}141=0{,}859{{/formula}} (um die Rechnung zu vereinfachen rechnen wir mit der Gegenwahrscheinlichkeit).
237		-<br>
238		-Mit der Bernoulli-Formel erhalten wir {{formula}}P(Y=0)= \binom{5}{0} \cdot p^0 \cdot (1-p)^{5-0} = (1-p)^5{{/formula}}, wobei {{formula}}p{{/formula}} die Wahrscheinlichkeit für ein positives Testergebnis ist.
239		-<p></p>
240		-Insgesamt erhalten wir somit:
241		-<br>
242		-{{formula}}
243		-\begin{align*}
244		- & & P(Y\ge1) &\approx 0{,}141 \\
245		-\Leftrightarrow & \quad & P(Y=0) &\approx 0{,}859 \\
246		-\Leftrightarrow & \quad & (1-p)^5 &\approx 0{,}859 \\
247		-\Leftrightarrow & \quad & 1-p &\approx \sqrt[5]{0{,}859} \\
248		-\Leftrightarrow & \quad & p &\approx 0{,}030
249		-\end{align*}
250		-{{/formula}}
251		-<br>
252		-Die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewählter Bewerber ein positives Testergebnis hat, beträgt somit ungefähr {{formula}}0{,}030{{/formula}}.
253	253	{{/detail}}
254	254
255	255