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2025 gAN - Teil A - Wahlaufgabe und Problemlöseaufgabe

Version 4.1 von akukin am 2025/12/28 13:15

Bei einem Glücksspiel wird ein Pfeil auf die in Abbildung 1 dargestellte Scheibe geworfen. Es wird angenommen, dass jeder Pfeil die Scheibe trifft. Die Skalierung gibt den Radius der einzelnen Kreise (in Längeneinheiten) an.
Abb.1.png
Man trifft die unterschiedlich gefärbten Bereiche auf der Scheibe mit den folgenden Wahrscheinlichkeiten:

rotblaugrün
\( \frac{1}{16} \)\( \frac{3}{16} \)\( \frac{12}{16} \)

  1. [2 BE] Für das Glücksspiel gelten folgende Regeln: 

    • Ein Spieler bezahlt einen Einsatz von \( a \) Euro.
    • Je nach getroffener Farbe erhält der Spieler folgende Auszahlung: 
     Getroffene Farbe  Auszahlung
     rot  6 Euro
     blau  2 Euro
     grün  1 Euro

    Berechne den maximalen Einsatz \( a \), sodass der Spieler auf lange Sicht keinen Verlust macht.

  2. [3 BE]

    Der Flächeninhalt eines Kreises mit Radius \( r \) beträgt \( \pi \cdot r^{2} \). Zeige, dass die oben gegebenen Wahrscheinlichkeiten dem Flächenanteil des jeweiligen Bereichs an der gesamten Kreisfläche entsprechen.

Bewertungseinheiten gesamt   5
AufgabeBEAllgemeine mathematische KompetenzenAnforderungsbereich
K1K2K3K4K5K6IIIIII
a2           2
b3             3

Gegeben sind die Punkte \( A(4 | 2 | -\!3) \), \( B(3|0|-\!1) \) und die Gerade \( g \), wobei \( g:\vec{x}=\left(\begin{matrix}3\\0\\-1\end{matrix}\right) +r\cdot\begin{pmatrix} -2 \\ 4 \\ 3 \end{pmatrix} , \ r\in \mathbb{R} \). 

  1. [3 BE] Zeige, dass der Abstand vom Punkt \( A \) zur Geraden \( g \) der Länge des Vektors \( \overrightarrow{AB} \) entspricht. 
  2. [2 BE] Ermittle die Koordinaten eines weiteren Punktes \( C \), der den gleichen Abstand zur Geraden \( g \) hat wie der Punkt \( A \).
AufgabeBEAllgemeine mathematische KompetenzenAnforderungsbereich
K1K2K3K4K5K6IIIIII
a3           12
b2             11

Ein Kartenspiel hat einen Kartensatz mit 32 Karten: In jeder der vier Farben Kreuz (♣), Pik (♠), Herz (♥) und Karo (♦) gibt es jeweils ein Ass, einen König, eine Dame, einen Buben, eine 10, eine 9, eine 8 und eine 7. Es wird eine Karte gezogen. 

  1. [2 BE] Bestimme die Wahrscheinlichkeit des folgenden Ereignisses:
    Die gezogene Karte zeigt Karo oder ist eine Dame. 

Ein anderes Spiel hat einen Kartensatz, der nur aus 4 Assen und \( n \) Jokern besteht. Es wird zweimal ohne Zurücklegen eine Karte gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, zwei Asse zu ziehen, beträgt \( \frac{2}{5} \).

  1. [3 BE] Zeige, dass die Berechnung der Anzahl der Joker auf folgende Gleichung führt:
    \( 2n^{2}+14n+24=60 \).
Bewertungseinheiten gesamt   5
AufgabeBEAllgemeine mathematische KompetenzenAnforderungsbereich
K1K2K3K4K5K6IIIIII
a2           2
b3             3
Bewertungseinheiten gesamt   5