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Wiki-Quellcode von Lösung Lineare Algebra 4_2

Version 2.1 von akukin am 2026/01/10 13:04
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1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 <p>
4 {{formula}}B{{/formula}} liegt auf {{formula}}g{{/formula}}.
5 </p><p>
6 {{formula}}
7 \overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}
8 {{/formula}}
9 </p><p>
10 Es gilt: {{formula}}
11 \overrightarrow{AB} \cdot \begin{pmatrix} -2\\4\\3\end{pmatrix}= 0
12 {{/formula}}
13 </p>
14 Somit ist {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} senkrecht zu {{formula}}g{{/formula}}
15 und damit entspricht {{formula}}\Bigl| \overrightarrow{AB} \Bigr|{{/formula}} dem Abstand von {{formula}}A{{/formula}} zu {{formula}}g{{/formula}}.
16 {{/detail}}
17
18
19 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
20 <p>
21 {{formula}}B{{/formula}} liegt auf {{formula}}g{{/formula}}, da der Stützvektor der Geraden dem Ortsvektor von Punkt {{formula}}B{{/formula}} entspricht.
22 </p><p>
23 {{formula}}
24 \overrightarrow{AB} =\begin{pmatrix}3-4\\0-2\\-1-(-3)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}
25 {{/formula}}
26 </p><p>
27 Es gilt: {{formula}}
28 \overrightarrow{AB} \cdot \begin{pmatrix} -2\\4\\3\end{pmatrix}=(-1)\cdot (-2)+(-2)\cdot 4+2\cdot 3=2-8+6=0
29 {{/formula}}
30 </p>
31 Da das Skalarprodukt von {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} und des Richtungsvektors der Geraden {{formula}}g{{/formula}} null ist, ist {{formula}}\overrightarrow{AB}{{/formula}} senkrecht zu {{formula}}g{{/formula}}. Damit entspricht {{formula}}\Bigl| \overrightarrow{AB} \Bigr|{{/formula}} dem Abstand von {{formula}}A{{/formula}} zu {{formula}}g{{/formula}}.
32 {{/detail}}
33
34 === Teilaufgabe b) ===
35 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
36 <p>
37 Mögliche Lösung:
38 </p>
39 {{formula}}
40 \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AB}=
41 \begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}
42 +
43 \begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}
44 =
45 \begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix},{{/formula}} damit {{formula}}\ C(2 \mid -2 \mid 1)
46 {{/formula}}
47 {{/detail}}
48
49
50 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
51 Einen weiteren Punkt {{formula}}C{{/formula}} erhalten wir, indem wir Punkt {{formula}}A{{/formula}} am Punkt {{formula}}B{{/formula}} spiegeln durch:
52 <br>
53 {{formula}}
54 \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA} + 2\cdot \overrightarrow{AB}=
55 \begin{pmatrix}4\\2\\-3\end{pmatrix}
56 +
57 2\cdot \begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}
58 =
59 \begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix},{{/formula}} damit {{formula}}\ C(2 \mid -2 \mid 1)
60 {{/formula}}
61 <br>
62 oder alternativ:
63 <br>
64 {{formula}}
65 \overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{AB}=
66 \begin{pmatrix}3\\0\\-1\end{pmatrix}
67 +
68 \begin{pmatrix}-1\\-2\\2\end{pmatrix}
69 =
70 \begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix},{{/formula}} damit {{formula}}\ C(2 \mid -2 \mid 1)
71 {{/formula}}
72 {{/detail}}