2025 gAN - Teil B - Analysis - Aufgabensatz I

Aufgabe 1  Analysis

Der Graph \( K_g \) einer in \( \mathbb{R} \) definierten quadratischen Funktion \( g \) schneidet die y-Achse im Punkt \( S_y(0|1) \). In diesem Punkt hat \( K_g \) die Steigung \( -\frac{4}{3} \). Der Tiefpunkt von \( K_g \) hat die x-Koordinate 2.

1. [4 BE] Bestimme eine Gleichung der Funktion \( g \).

   (Zur Kontrolle: \( g(x)=\frac{1}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x+1 \)).

2. [3 BE] Zeichne \( K_{g} \) im Bereich \( -2\le x\le6 \).
3. [4 BE] Berechne den Inhalt der Fläche, die \( K_{g} \) mit der x-Achse einschließt.

Die Funktion \( f \) ist für \( x\in \mathbb{R} \) definiert durch \( f(x)=(\frac{1}{3}x^{2}-\frac{4}{3}x+1)\cdot e^{x} \).
Der Graph von \( f \) ist \( K_{f} \).
Die Funktion \( F \) ist für \( x\in \mathbb{R} \) definiert durch \( F(x)=\frac{1}{3}\cdot(x^{2}-6x+9)\cdot e^{x} \).

4. [3 BE] Zeige, dass \( F \) eine Stammfunktion von \( f \) ist.
5. [6 BE]

   
   Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des Graphen \( K_{F} \) der Funktion \( F \). Entscheide, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
   Begründe deine Entscheidung jeweils mithilfe von \( K_{F} \).

   (1) \( K_{f} \) schneidet die x-Achse im Intervall [-2; 2] einmal.
   (2) Es gilt: \( F^{\prime}(2,5)=-1 \).
   (3) Es gilt: \( f^{\prime}(1,5)<0 \).

Der Graph der Funktion \( h \) entsteht, indem \( K_{f} \) zuerst um 1 nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt wird.

6. Begründe, dass die folgenden Aussagen korrekt sind:
   (1) Die Reihenfolge der beiden Transformationen spielt eine Rolle.
   (2) Es gilt \( f(1)=0 \). Damit ist \( h(-2)=0 \).