BPE 6.2 Von der Sekante zur Tangente

Zuletzt geändert von Stephanie Wietzorek am 2025/06/27 20:00

Inhalt

K1 K4 Ich kann die durchschnittliche Änderungsrate als Steigung der Sekante deuten
K4 K5 Ich kann die durchschnittliche Änderungsrate grafisch aus einem Funktionsgraphen bestimmen
K5 Ich kann die durchschnittliche Änderungsrate algebraisch aus einem Funktionsterm bestimmen
K4 K5 Ich kann die durchschnittliche Änderungsrate aus einer Wertetabelle bestimmen
K4 K5 Ich kann die momentane Änderungsrate als Steigung der Tangente grafisch bestimmen

Berechne die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion f im Intervall  \left[-3;2\right].

  1. f(x)=5x^2-3
  2. f(x)=0,25x^4-x^2-3
  3. f(x)=2^x
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Quelle   Martina WagnerLizenz   CC BY-SA

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=x^2  im Intervall  \left[-1;b\right]. Ermittle einen Punkt P(b|f(b)), der folgende Bedingung erfüllt:
m_s=\frac{f(b)-1}{b+1}=1,5

AFB   IIKompetenzen   K5Bearbeitungszeit   10 min
Quelle   Martin Stern, Dirk TebbeLizenz   CC BY-SA

Bestimme einen Funktionsterm g, so dass gilt: m_s=\frac{g(4)-g(2)}{4-2}=2

  1. für g(x)=mx
  2. für g(x)=ax^2
AFB   IKompetenzen   K5Bearbeitungszeit   15 min
Quelle   Martin Stern, Dirk TebbeLizenz   CC BY-SA

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=-0,5x^2\cdot (x-4)  für x\in \mathbb{R}. Ihr Schaubild ist K_f.
Gegeben sind zwei Kurvenpunkte A(1|f(1)) und B(4|f(4)).

  1. Berechne die durchschnittliche Änderungsrate im Intervall \left[1;4\right].
  2. Zeichne K_f für 0\leq x\leq 4. Zeichne die Sekante durch die Punkte A und B und bestimme die Steigung dieser Sekante.
  3. Was stellst du fest?
AFB   IKompetenzen   K5Bearbeitungszeit   20 min
Quelle   Martin Stern, Dirk TebbeLizenz   CC BY-SA

Berechne die durchschnittliche Änderungsrate der Funktion f im angegebenen Intervall.

  1. f(x)=\frac{1}{x} für \left[\frac{1}{2};4\right]
  2. g(x)=e^{-x}-2,5 für \left[-4;1\right]
  3. f(x)=\frac{1}{5}x^2-5 für \left[-5;5\right]
AFB   IKompetenzen   K5Bearbeitungszeit   15 min
Quelle   Martin Stern, Dirk TebbeLizenz   CC BY-SA

Berechne jeweils die durchschnittliche Änderungsrate für die Intervalle \left[0;2\right] und \left[1;3\right]. Was stellst du fest?

x0123
y1248
AFB   IKompetenzen   K5Bearbeitungszeit   5 min
Quelle   Martin Stern, Dirk TebbeLizenz   CC BY-SA

Gegeben ist eine Normalparabel mit einem festen Punkt A(1|f(1)) und einem auf der Normalparabel beliebigem Punkt B(1+h|f(1+h)).
 
Sekante2.png
  

  1. Bestimme die Koordinaten des Punktes B für h = 2 und berechne die Steigung der Sekante zwischen A und B.
  2. Gib eine allgemeine Formel für die Steigung der Sekante zwischen A und dem beliebigem Punkt B an.
  3. Beschreibe, wie sich die Lage von B verändert, wenn h immer kleiner wird (h geht gegen 0)
  4. Berechne die Sekantensteigung für h = 0,1.
  5. Die Tangente im Punkt A besitzt die Gleichung y = 2x - 1. Stelle einen Zusammenhang zwischen der Steigung der Sekante und der Tangentensteigung in Abhängigkeit von h auf.
AFB   IIKompetenzen   K1 K2 K5 K6Bearbeitungszeit   15 min
Quelle   Simone Kanzler, Stephanie WietzorekLizenz   CC BY-SA

Die Abbildung zeigt den Tagesverlauf des Wirecardaktienkurs am 19.06.2020 von 8:00 Uhr bis 10:00 Uhr. Der Aktienkurs ist an diesem Tag aufgrund des in einen Bilanzskandal verwickelten Dax-Konzerns um 45% gesunken.
 
Aktiegez.png
  

  1. Beschreibe grob den Kursverlauf in den zwei Stunden.
  2. Berechne näherungsweise die durchschnittliche Änderungsrate zwischen 9:30 uhr und 9:45 Uhr und vergleiche diese mit der momentanen Änderungsrate um 9:45 Uhr.
  3. Welchen Wertverlust erlitt die Aktie innerhalb der zwei Stunden? Überprüfe den oben genannten prozentualen Wertverlust
  4. Zu welchem Zeitpunkt ist der Wertverlust am größten?
AFB   IIKompetenzen   K1 K2 K2 K6Bearbeitungszeit   10 min
Quelle   Simone Kanzler, Stephanie WietzorekLizenz   CC BY-SA

BMX-Fahrräder sind speziell für das Gelände ausgelegte Sportgeräte. Für den professionellen Einsatz dieser Fahrräder wird auf horizontalem Untergrund eine 3 m breite Sprungschanze installiert. Im Längsschnitt der Schanze kann deren Profillinie für x ∈ \in\left[ -8;0 \right] modellhaft durch die in \mathbb{R} definierte Funktion f mit

f(x)=-\frac{5}{256}x^3+\frac{3}{4}x+2

beschrieben werden. Die Abbildung 1 zeigt den zugehörigen Teil des Graphen von f.
Der Startpunkt, von dem aus die Schanze durchfahren wird, wird durch den Punkt S( -8 | f ( -8 ) )  dargestellt, der Absprungpunkt durch A(0 | f ( 0 ) ).

Schanze.png

Abbildung 1

Veranschauliche in Abbildung 1 die mittlere Steigung der Schanze zwischen Startpunkt und Absprungpunkt. Bestimme diese Steigung.

AFB   IKompetenzen   K2 K5Bearbeitungszeit   10 min
Quelle   IQB e.V. 2019 Analysis gAN Teil 2 CASLizenz   CC BY 3.0
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Im Rahmen eines Tests läuft ein Sportler auf einem Laufband. Dabei wird bei ansteigender Geschwindigkeit jeweils die Konzentration sogenannter Laktate im Blut gemessen.
Die Abhängigkeit der Laktatkonzentration von der Geschwindigkeit kann für 8,5\leq x \leq 17,5 modellhaft durch die Funktion k beschrieben werden mit:

k(x) = \frac{1}{40}(x^{3}-30x^{2}+288x-815)

Dabei ist x die Geschwindigkeit des Sportlers in Kilometer pro Stunde und k die Laktatkonzentration in Millimol pro Liter \frac{mmol}{l}. Berechne im Modell für den Geschwindigkeitsbereich von 12 bis 17,5 \frac{km}{h} die mittlere Änderungsrate der Laktatkonzentration.

AFB   IIKompetenzen   K3 K5Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   IQB e.V. 2019 Analysis gAN Teil 2 WTRLizenz   CC BY 3.0

Ein Kondensator ist ein Bauteil, das elektrische Ladung speichert. Der Ladevorgang eines Kondensators wird im Labor untersucht. Zum Zeitpunkt t = 0 beginnt der Aufladevorgang. Die Stärke des elektrischen Stroms, der beim Aufladen fließt, wird gemessen. Die Messwerte sind in folgender Tabelle zusammengefasst:

Zeit [s]1,02,44,87,29,6
Stromstärke [mA]9,06,03,01,50,75

Ermittle einen Zeitraum beim Ladevorgang, in der die durchschnittliche Änderungsrate der Stromstärke halb so groß ist wie im Zeitraum von 2,4 s bis 4,8 s!

AFB   IIKompetenzen   K2 K4 K5Bearbeitungszeit   k.A.
Quelle   Abi 2012 Anwendung, modifiziertLizenz   k.A.

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Kompetenzmatrix und Seitenreflexion

K1K2K3K4K5K6
I010060
II231142
III000000
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Abdeckung Bildungsplan
Abdeckung Kompetenzen
Abdeckung Anforderungsbereiche
Eignung gemäß Kriterien
Umfang gemäß Mengengerüst