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Wiki-Quellcode von Lösung Analysis

Version 5.1 von akukin am 2026/01/10 14:07
Verstecke letzte Bearbeiter
akukin 1.1 1 === Teilaufgabe a) ===
2 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
3 Ansatz:
4 {{formula}}
5 g(x) = ax^2 + bx + c; \ g^\prime(x) = 2ax + b
6 {{/formula}}
7 <br>
8 {{formula}}
9 g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1
10 {{/formula}}
11 <br>
12 {{formula}}
13 g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}
14 {{/formula}}
15 <br>
16 {{formula}}
17 g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3},
18 {{/formula}} also {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1
19 {{/formula}}
20 {{/detail}}
21
22
23 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 4.1 24 Der allgemeine Ansatz zum Aufstellen einer quadratischen Funktion lautet:
25 <br>
26 {{formula}}
27 g(x) = ax^2 + bx + c
28 {{/formula}}
29 <p></p>
30 Zur Bestimmung der Parameter {{formula}}a,b{{/formula}} und {{formula}}c{{/formula}} nutzen wir die im Text gegebenen Informationen:
31
32 * Schnittpunkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}:
33 {{formula}}
34 g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1
35 {{/formula}}
36 * Steigung {{formula}}-4{{/formula}} im Punkt {{formula}}S_y(0|1){{/formula}}: {{formula}}g^\prime(x) = 2ax + b{{/formula}}
37 {{formula}}
38 g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}
39 {{/formula}}
40 * Tiefpunkt an der Stelle {{formula}}x=2{{/formula}}: {{formula}}
41 g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3}{{/formula}}
42 <p></p>
43 Insgesamt erhalten wir somit {{formula}}g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1
44 {{/formula}}
akukin 1.1 45 {{/detail}}
46
47 === Teilaufgabe b) ===
48 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
akukin 3.1 49 [[image:b.png||width="300"]]
akukin 1.1 50 {{/detail}}
51
52
53 === Teilaufgabe c) ===
54 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
55 <p>
56 Nullstellen: {{formula}}g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3{{/formula}}
57 </p>
58 {{formula}}
59 \int_1^3 f(x) \mathrm{d}x
60 = \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3
61 = -\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ A = \frac{4}{9}
62 {{/formula}}
63 {{/detail}}
64
65
66 === Teilaufgabe d) ===
67 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
68 {{formula}}
69 \begin{align*}
70 F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\
71 &= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x)
72 \end{align*}
73 {{/formula}}
74 {{/detail}}
75
76
77 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 4.1 78 Mittels Produktregel bestimmen wir die Ableitung der Funktion {{formula}}F{{/formula}}:
79 <br>
80 {{formula}}
81 \begin{align*}
82 F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\
83 &= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x)
84 \end{align*}
85 {{/formula}}
86 <br>
87 Da {{formula}}F'(x)=f(x){{/formula}} gilt, ist {{formula}}F{{/formula}} eine Stammfunktion von {{formula}}f{{/formula}}.
akukin 1.1 88 {{/detail}}
89
90 === Teilaufgabe e) ===
91 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
92 (1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} eine Extremstelle, daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal.
93 <br>
akukin 5.1 94 (2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} hat eine Steigung von ungefähr {{formula}}−3{{/formula}}.
akukin 1.1 95 <br>
96 (3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt.
97 {{/detail}}
98
99
100 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
akukin 5.1 101 (1) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_{F}{{/formula}} besitzt im Intervall {{formula}}[-2;2]{{/formula}} an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}} eine Extremstelle. Daher schneidet {{formula}}K_{f}{{/formula}} die x-Achse im Intervall einmal an der Stelle {{formula}}x=1{{/formula}}.
102 <br>
103 (2) Wir bestimmen die Steigung an der Stelle {{formula}}x=2{,}5{{/formula}} indem wir mit unserem Geodreieck eine Tangente an {{formula}}K_F{{/formula}} anlegen. Da die Steigung der Tangenten ungefähr {{formula}}-3{{/formula}} beträgt, ist die Aussage falsch.
104 <br>
105 (3) Die Aussage ist wahr. {{formula}}K_F{{/formula}} ist für {{formula}}x=1{,}5{{/formula}} rechtsgekrümmt. Somit ist {{formula}}F^{\prime\prime}(1,5)=f^\prime(1,5)<0{{/formula}}.
akukin 1.1 106 {{/detail}}
107
108 === Teilaufgabe f) ===
109 {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
110 Aussage (1):
111 <br><p>
112 Wird der Graph zuerst nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt, hat die entstehende Funktion die Nullstellen −4 und −2.
113 Wird zuerst gespiegelt und dann verschoben, erhält man die Nullstellen −2 und 0.
akukin 3.1 114 Es entstehen also unterschiedliche Graphen.
akukin 1.1 115 </p>
116 Aussage (2):
117 <br>
akukin 3.1 118 Durch die Verschiebung von {{formula}}K_f{{/formula}} um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle von {{formula}}x=1{{/formula}} zu {{formula}}x=2{{/formula}}. Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu {{formula}}x=-2{{/formula}}, daher schneidet {{formula}}K_h{{/formula}} die x-Achse bei {{formula}}x=-2{{/formula}}.
akukin 1.1 119 {{/detail}}
120