Lösung Analysis
Zuletzt geändert von akukin am 2025/12/29 18:30
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
Ansatz: \(g(x) = ax^2 + bx + c; \ g^\prime(x) = 2ax + b\)\(g(0) = 1 \ \Rightarrow \ c = 1\)
\(g'(0) = -\frac{4}{3} \ \Rightarrow \ b = -\frac{4}{3}\)
\(g'(2) = 0 \ \Leftrightarrow \ 4a - \frac{4}{3} = 0 \ \Rightarrow \ a = \frac{1}{3},\) also \(g(x) = \frac{1}{3}x^2 - \frac{4}{3}x + 1\)
Erläuterung der Lösung
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
Erläuterung der Lösung
Teilaufgabe c)
Erwartungshorizont
Nullstellen: \(g(x) = 0 \ \Leftrightarrow \ x = 1 \ \vee \ x = 3\)
\(\int_1^3 f(x) \mathrm{d}x = \left[\frac{1}{9}x^3 - \frac{2}{3}x^2 + x\right]_1^3 = -\frac{4}{9} \ \Rightarrow \ A = \frac{4}{9}\)Erläuterung der Lösung
Teilaufgabe d)
Erwartungshorizont
\(\begin{align*} F'(x)&= \frac{1}{3} \cdot \Big((2x-6)\cdot e^x + (x^2-6x+9)\cdot e^x\Big) \\ &= \frac{1}{3}\cdot (x^2 - 4x + 3)\cdot e^x = f(x) \end{align*}\)Erläuterung der Lösung
Teilaufgabe e)
Erwartungshorizont
(1) Die Aussage ist wahr. \(K_{F}\) besitzt im Intervall \([-2;2]\) eine Extremstelle, daher schneidet \(K_{f}\) die x-Achse im Intervall einmal.(2) Die Aussage ist falsch. Die Tangente an \(K_F\) an der Stelle \(x=2{,}5\) hat eine Steigung von ungefähr −3.
(3) Die Aussage ist wahr. \(K_F\) ist für \(x=1{,}5\) rechtsgekrümmt.
Erläuterung der Lösung
Teilaufgabe f)
Erwartungshorizont
Aussage (1):Wird der Graph zuerst nach rechts verschoben und dann an der y-Achse gespiegelt, hat die entstehende Funktion die Nullstellen −4 und −2. Wird zuerst gespiegelt und dann verschoben, erhält man die Nullstellen −2 und 0. Es entstehen also unterschiedliche Graphen.
Aussage (2):Durch die Verschiebung von \(K_f\) um 1 nach rechts verschiebt sich auch die Nullstelle von \(x=1\) zu \(x=2\). Die anschließende Spiegelung an der y-Achse ändert dann die Nullstelle noch zu \(x=-2\), daher schneidet \(K_h\) die x-Achse bei \(x=-2\).