Änderungen von Dokument Lösung Analysis
Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/17 16:25
Zusammenfassung
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Details
- Seiteneigenschaften
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- Inhalt
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... ... @@ -50,7 +50,6 @@ 50 50 {{/formula}} 51 51 {{/detail}} 52 52 53 - 54 54 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 55 55 Die beiden doppelten Nullstellen bei {{formula}}\pm 2{{/formula}} liefern die beiden Tiefpunkte von {{formula}}K_f{{/formula}}. Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: {{formula}} H(0 \mid 2) {{/formula}}. 56 56 <br> ... ... @@ -147,11 +147,11 @@ 147 147 {{/formula}} 148 148 <br> 149 149 {{formula}} 150 -b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \u_2 = \frac{\pi}{2}149 +b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0,; \ u_2 = \frac{\pi}{2} 151 151 {{/formula}} 152 152 <br><p> 153 153 {{formula}} 154 -b(0) = 8;\ \b(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max}153 +b(0) = 8;\quad b(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max} 155 155 {{/formula}} 156 156 </p> 157 157 //Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.// ... ... @@ -159,50 +159,7 @@ 159 159 160 160 161 161 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 162 -Wir bestimmen die Tangente im Kurvenpunkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} mit dem Ansatz {{formula}}y=mx+b{{/formula}}. 163 -<br> 164 -Dazu bestimmen wir die Steigung {{formula}}m{{/formula}} im Punkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}}: 165 -<br> 166 - {{formula}} 167 -h'(u) = -4 \cdot \sin(u) 168 -{{/formula}} 169 -<br> 170 -Damit lautet Tangente in {{formula}}P{{/formula}}: 171 -<br> 172 -{{formula}} 173 -y = -4\sin(u)\cdot x + b 174 -{{/formula}} 175 -<br> 176 -Punktprobe mit {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} ergibt: 177 -<br> 178 -{{formula}} 179 -h(u) = -4\sin(u)\cdot u + b = 4\cdot \cos(u)+4 180 -{{/formula}} 181 -<br> 182 -Nun stellen wir die Gleichung nach {{formula}}b{{/formula}} um und erhalten in Abhängigkeit von {{formula}}u{{/formula}}: 183 -<br> 184 -{{formula}} 185 -b(u) = 4u\cdot \sin(u) + 4\cos(u) + 4 186 -{{/formula}} 187 -<p></p> 188 -Um nun zu bestimmen, welchen Wert {{formula}}b(u){{/formula}} maximal annehmen kann, bestimmen wir mögliche Extremstellen der Funktion: 189 -<br> 190 -{{formula}} 191 -b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \ u_2 = \frac{\pi}{2} 192 -{{/formula}} 193 -<br> 194 -Einsetzen der möglichen Extremstellen liefert: 195 -<br> 196 -{{formula}} 197 -b(0) = 8;\ \ b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3 198 -{{/formula}} 199 -<br> 200 -Nun prüfen wir noch die obere Grenze {{formula}}\pi{{/formula}} für {{formula}}u{{/formula}}: 201 -{{formula}}b(\pi) =4\cos(\pi)+4+4\sin(\pi) =-4+4+0=0{{/formula}} 202 -<p></p> 203 -Somit ist {{formula}}b_{\max}=2\pi + 4 \approx 10{,}3{{/formula}} 204 -<p></p> 205 -//Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.// 161 + 206 206 {{/detail}} 207 207 208 208 == 1.3 == ... ... @@ -211,7 +211,7 @@ 211 211 Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}} 212 212 <br><p> 213 213 Mit jedem Schnitt wird der Flächeninhalt halbiert, d.h. der Ausgangswert wird für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit 214 -{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert.170 +{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} 215 215 </p> 216 216 Daher {{formula}} 217 217 A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n ... ... @@ -220,22 +220,7 @@ 220 220 221 221 222 222 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 223 -Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}} 224 -<br> 225 -Nach dem ersten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(1) = A(0) \cdot \frac{1}{2} = 81 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}} 226 -<br> 227 -Nach dem zweiten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(2) = A(1)\cdot \frac{1}{2}=\left(81 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}=81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2=A(0)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2{{/formula}} 228 -<br> 229 -Nach dem dritten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(3) = A(2)\cdot \frac{1}{2}=\left(81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) \cdot \frac{1}{2}=81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 =A(0)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3{{/formula}} 230 -<br> 231 -... 232 -<br> 233 -Wir erkennen, dass der Ausgangswert {{formula}}A(0){{/formula}} somit für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit 234 -{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert wird. 235 -<p></p> 236 -Daher {{formula}} 237 -A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n 238 -{{/formula}}. 179 + 239 239 {{/detail}} 240 240 241 241 === Teilaufgabe b) === ... ... @@ -256,23 +256,7 @@ 256 256 257 257 258 258 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 259 -Es soll gelten: {{formula}}81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n <\frac{1}{100}{{/formula}} 260 -<br> 261 -Umstellen nach {{formula}}n{{/formula}} liefert: 262 -<br> 263 -{{formula}} 264 -\begin{align*} 265 -81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n &<\frac{1}{100} &&\mid :81 \\ 266 -\Leftrightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^n &< \frac{1}{8100} &&\mid \log \\ 267 -\Leftrightarrow \log\!\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) \\ 268 -\Leftrightarrow n\cdot\log\!\left(\frac{1}{2}\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) &&\mid : \log\!\left(\frac{1}{2}\right) \\ 269 -\Leftrightarrow n &> \frac{\log\!\left(\frac{1}{8100}\right)}{\log\!\left(\frac{1}{2}\right) }=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12,98 270 -\end{align*} 271 -{{/formula}} 272 -<br> 273 -Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden. 274 -<p></p> 275 -//Beachte: Da {{formula}}\log\left(\frac{1}{2}\right)<0{{/formula}} ist, muss das Ungleichzeichen im letzten Schritt umgedreht werden. // 200 + 276 276 {{/detail}} 277 277 278 278