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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

@@ -10,6 +10,12 @@
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Nenne drei Argumente, warum es sich beim dargestellten Graphen um {{formula}}K_{g}{{/formula}} handeln kann.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
  Mögliche Argumente:
  <br>
  * Der Graph hat zwei doppelte Nullstellen.
@@ -31,6 +31,14 @@
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Der Graph {{formula}} K_{f} {{/formula}} der Funktion {{formula}} f {{/formula}} mit {{formula}} f(x)=\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+2 {{/formula}} geht aus {{formula}} K_{g} {{/formula}} durch Streckung in {{formula}} y {{/formula}}-Richtung mit dem Faktor {{formula}} a {{/formula}} hervor.
++<br>
++Gib den Wert von {{formula}} a {{/formula}} an.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
  Ausmultiplizieren liefert: {{formula}}g(x)=(x+2)^2\cdot (x-2)^2=x^4+ \dots{{/formula}}.
  Somit ist der Faktor {{formula}}a=\frac{1}{8}{{/formula}}.
  {{/detail}}
@@ -50,7 +50,14 @@
  {{/formula}}
  {{/detail}}
++
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Bestimme eine Gleichung der Parabel (zweiten Grades), die durch alle Extrempunkte von {{formula}} K_{f} {{/formula}} verläuft.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
  Die beiden doppelten Nullstellen bei {{formula}}\pm 2{{/formula}} liefern die beiden Tiefpunkte von {{formula}}K_f{{/formula}}. Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: {{formula}} H(0 \mid 2) {{/formula}}.
  <br>
  Damit die Parabel durch die Punkte {{formula}}(-2|0), (2|0){{/formula}} und {{formula}}(0|2){{/formula}} verläuft, muss der Scheitel bei {{formula}}(0|2){{/formula}} liegen, das heißt die (nach unten geöffnete) Parabel ist um 2 in y-Richtung verschoben.
@@ -74,6 +74,14 @@
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Gegeben ist die Funktion {{formula}} h {{/formula}} mit {{formula}} h(x)=4\cdot \cos(x)+4 {{/formula}}. Ihr Graph ist {{formula}} K_{h} {{/formula}}.
++<br>
++Zeichne {{formula}} K_{h} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -\pi\le x\le\pi {{/formula}}.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
  Ein Graph kann mittels Wertetabelle gezeichnet werden, die mit dem Taschenrechner erzeugt wird.
  [[image:1.2a.png||width="300"]]
  {{/detail}}
@@ -104,6 +104,12 @@
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Zeige, dass die Gerade {{formula}} t {{/formula}} mit der Gleichung {{formula}} y=-4x+2\pi+4 {{/formula}} eine Tangente an den Graphen {{formula}} K_{h} {{/formula}} im Punkt {{formula}} P(\frac{\pi}{2}|4) {{/formula}} ist.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
  Die Tangente muss durch den Punkt {{formula}}P\left(\frac{\pi}{2}|4\right){{/formula}} gehen und an der Stelle {{formula}}x=\frac{\pi}{2}{{/formula}} die selbe Steigung wie der Graph {{formula}}K_h{{/formula}}.
  <br>
  Das heißt, es muss geprüft werden, ob {{formula}}
@@ -146,11 +146,11 @@
  {{/formula}}
  <br>
  {{formula}}
--b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0,; \ u_2 = \frac{\pi}{2}
++b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \ u_2 = \frac{\pi}{2}
  {{/formula}}
  <br><p>
  {{formula}}
--b(0) = 8;\quad b(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max}
++b(0) = 8;\ \ b(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max}
  {{/formula}}
  </p>
  //Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.//
@@ -158,7 +158,56 @@
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
--
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Die Tangente im Kurvenpunkt {{formula}} P(u|h(u)) {{/formula}}, {{formula}} 0\le u\le\pi {{/formula}} schneidet die {{formula}} y {{/formula}}-Achse im Punkt {{formula}} S {{/formula}}. Bestimme denjenigen Wert, den die y-Koordinate von {{formula}} S {{/formula}} maximal annehmen kann.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
++Wir bestimmen die Tangente im Kurvenpunkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} mit dem Ansatz {{formula}}y=mx+b{{/formula}}.
++<br>
++Dazu bestimmen wir die Steigung {{formula}}m{{/formula}} im Punkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}}:
++<br>
++  {{formula}}
++h'(u) = -4 \cdot \sin(u)
++{{/formula}}
++<br>
++Damit lautet Tangente in {{formula}}P{{/formula}}:
++<br>
++{{formula}}
++y = -4\sin(u)\cdot x + b
++{{/formula}}
++<br>
++Punktprobe mit {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} ergibt:
++<br>
++{{formula}}
++h(u) = -4\sin(u)\cdot u + b = 4\cdot \cos(u)+4
++{{/formula}}
++<br>
++Nun stellen wir die Gleichung nach {{formula}}b{{/formula}} um und erhalten in Abhängigkeit von {{formula}}u{{/formula}}:
++<br>
++{{formula}}
++b(u) = 4u\cdot \sin(u) + 4\cos(u) + 4
++{{/formula}}
++<p></p>
++Um nun zu bestimmen, welchen Wert {{formula}}b(u){{/formula}} maximal annehmen kann, bestimmen wir mögliche Extremstellen der Funktion:
++<br>
++{{formula}}
++b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \ u_2 = \frac{\pi}{2}
++{{/formula}}
++<br>
++Einsetzen der möglichen Extremstellen liefert:
++<br>
++{{formula}}
++b(0) = 8;\ \ b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3
++{{/formula}}
++<br>
++Nun prüfen wir noch die obere Grenze {{formula}}\pi{{/formula}} für {{formula}}u{{/formula}}:
++{{formula}}b(\pi) =4\cos(\pi)+4+4\sin(\pi) =-4+4+0=0{{/formula}}
++<p></p>
++Somit ist {{formula}}b_{\max}=2\pi + 4 \approx 10{,}3{{/formula}}
++<p></p>
++//Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.//
  {{/detail}}
  == 1.3 ==
@@ -167,7 +167,7 @@
  Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}}
  <br><p>
  Mit jedem Schnitt wird der Flächeninhalt halbiert, d.h. der Ausgangswert wird für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit
--{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}}
++{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert.
  </p>
  Daher {{formula}}
  A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
@@ -176,7 +176,30 @@
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
--
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Ein Notizzettel hat die Maße {{formula}} 9 \times 9\text{ cm} {{/formula}}. Von diesem Notizzettel wird nun immer wieder ein Stück abgeschnitten, sodass sich der Flächeninhalt {{formula}} A {{/formula}} des verbleibenden Stücks mit jedem Schnitt halbiert.
++<p></p>
++ Zeige, dass sich der nach {{formula}} n {{/formula}} Schnitten verbleibende Flächeninhalt des Notizzettels in {{formula}} \text{cm}^{2} {{/formula}} durch die Funktion {{formula}} A {{/formula}} mit {{formula}} A(n)=81\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}; \ n\in\mathbb{N} {{/formula}} beschreiben lässt.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
++Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}}
++<br>
++Nach dem ersten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(1) = A(0) \cdot  \frac{1}{2} = 81 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}}
++<br>
++Nach dem zweiten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(2) = A(1)\cdot \frac{1}{2}=\left(81 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}=81\cdot  \left(\frac{1}{2}\right)^2=A(0)\cdot  \left(\frac{1}{2}\right)^2{{/formula}}
++<br>
++Nach dem dritten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(3) = A(2)\cdot \frac{1}{2}=\left(81\cdot  \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) \cdot \frac{1}{2}=81\cdot  \left(\frac{1}{2}\right)^3 =A(0)\cdot  \left(\frac{1}{2}\right)^3{{/formula}}
++<br>
++...
++<br>
++Wir erkennen, dass der Ausgangswert {{formula}}A(0){{/formula}} somit für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit
++{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert wird.
++<p></p>
++Daher {{formula}}
++A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
++{{/formula}}.
  {{/detail}}
  === Teilaufgabe b) ===
@@ -197,7 +197,29 @@
  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
--
++//Aufgabenstellung//
++<br><p>
++Berechne, wie oft man ein Stück des Notizzettels abschneiden muss, bis das verbleibende Stück erstmals einen Flächeninhalt von weniger als einem hundertstel Quadratzentimeter hat.
++</p>
++//Lösung//
++<br>
++Es soll gelten: {{formula}}81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n <\frac{1}{100}{{/formula}}
++<br>
++Umstellen nach {{formula}}n{{/formula}} liefert:
++<br>
++{{formula}}
++\begin{align*}
++81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n &<\frac{1}{100} &&\mid :81 \\
++\Leftrightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^n &< \frac{1}{8100} &&\mid \log \\
++\Leftrightarrow \log\!\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) \\
++\Leftrightarrow n\cdot\log\!\left(\frac{1}{2}\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) &&\mid : \log\!\left(\frac{1}{2}\right) \\
++\Leftrightarrow n &> \frac{\log\!\left(\frac{1}{8100}\right)}{\log\!\left(\frac{1}{2}\right) }=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right)  \approx 12,98
++\end{align*}
++{{/formula}}
++<br>
++Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden.
++<p></p>
++//Beachte: Da {{formula}}\log\left(\frac{1}{2}\right)<0{{/formula}} ist, muss das Ungleichzeichen im letzten Schritt umgedreht werden. //
  {{/detail}}

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