Änderungen von Dokument Lösung Analysis
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Zusammenfassung
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Details
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- Inhalt
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... ... @@ -50,6 +50,7 @@ 50 50 {{/formula}} 51 51 {{/detail}} 52 52 53 + 53 53 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 54 54 Die beiden doppelten Nullstellen bei {{formula}}\pm 2{{/formula}} liefern die beiden Tiefpunkte von {{formula}}K_f{{/formula}}. Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: {{formula}} H(0 \mid 2) {{/formula}}. 55 55 <br> ... ... @@ -146,11 +146,11 @@ 146 146 {{/formula}} 147 147 <br> 148 148 {{formula}} 149 -b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0 ,; \ u_2 = \frac{\pi}{2}150 +b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \ u_2 = \frac{\pi}{2} 150 150 {{/formula}} 151 151 <br><p> 152 152 {{formula}} 153 -b(0) = 8;\ quadb(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max}154 +b(0) = 8;\ \ b(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max} 154 154 {{/formula}} 155 155 </p> 156 156 //Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.// ... ... @@ -158,7 +158,56 @@ 158 158 159 159 160 160 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 161 - 162 +Wir bestimmen die Tangente im Kurvenpunkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} mit dem Ansatz {{formula}}y=mx+b{{/formula}}. 163 +<br> 164 +Dazu bestimmen wir die Steigung {{formula}}m{{/formula}} im Punkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}}: 165 +<br> 166 + {{formula}} 167 +h'(u) = -4 \cdot \sin(u) 168 +{{/formula}} 169 +<br> 170 +Damit lautet Tangente in {{formula}}P{{/formula}}: 171 +<br> 172 +{{formula}} 173 +y = -4\sin(u)\cdot x + b 174 +{{/formula}} 175 +<br> 176 +Nun setzen wir den Punkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} in die Tangentengleichung ein: 177 +<br> 178 +{{formula}} 179 +h(u) = -4\sin(u)\cdot u + b 180 +{{/formula}} 181 +<br> 182 +Gleichsetzen mit {{formula}}h(u)=4\cdot \cos(u)+4{{/formula}} ergibt 183 +<br> 184 +{{formula}} 185 +4\cdot \cos(u)+4= -4\sin(u)\cdot u + b 186 +{{/formula}} 187 +<br> 188 +Nun stellen wir die Gleichung nach {{formula}}b{{/formula}} um und erhalten in Abhängigkeit von {{formula}}u{{/formula}}: 189 +<br> 190 +{{formula}} 191 +b(u) = 4u\cdot \sin(u) + 4\cos(u) + 4 192 +{{/formula}} 193 +<p></p> 194 +Um nun zu bestimmen, welchen Wert {{formula}}b(u){{/formula}} maximal annehmen kann, bestimmen wir mögliche Extremstellen der Funktion: 195 +<br> 196 +{{formula}} 197 +b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \ u_2 = \frac{\pi}{2} 198 +{{/formula}} 199 +<br> 200 +Einsetzen der möglichen Extremstellen liefert: 201 +<br> 202 +{{formula}} 203 +b(0) = 8;\ \ b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3 204 +{{/formula}} 205 +<br> 206 +Nun prüfen wir noch die obere Grenze {{formula}}\pi{{/formula}} für {{formula}}u{{/formula}}: 207 +{{formula}}b(\pi) =4\cos(\pi)+4+4\sin(\pi) =-4+4+0=0{{/formula}} 208 +<p></p> 209 +Somit ist {{formula}}b_{\max}=2\pi + 4 \approx 10{,}3{{/formula}} 210 +<p></p> 211 +//Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.// 162 162 {{/detail}} 163 163 164 164 == 1.3 == ... ... @@ -167,7 +167,7 @@ 167 167 Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}} 168 168 <br><p> 169 169 Mit jedem Schnitt wird der Flächeninhalt halbiert, d.h. der Ausgangswert wird für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit 170 -{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} 220 +{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert. 171 171 </p> 172 172 Daher {{formula}} 173 173 A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n ... ... @@ -175,10 +175,6 @@ 175 175 {{/detail}} 176 176 177 177 178 -{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 179 - 180 -{{/detail}} 181 - 182 182 === Teilaufgabe b) === 183 183 {{detail summary="Erwartungshorizont"}} 184 184 {{formula}} ... ... @@ -197,7 +197,23 @@ 197 197 198 198 199 199 {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}} 200 - 246 +Es soll gelten: {{formula}}81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n <\frac{1}{100}{{/formula}} 247 +<br> 248 +Umstellen nach {{formula}}n{{/formula}} liefert: 249 +<br> 250 +{{formula}} 251 +\begin{align*} 252 +81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n &<\frac{1}{100} &&\mid :81 \\ 253 +\Leftrightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^n &< \frac{1}{8100} &&\mid \log \\ 254 +\Leftrightarrow \log\!\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) \\ 255 +\Leftrightarrow n\cdot\log\!\left(\frac{1}{2}\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) &&\mid : \log\!\left(\frac{1}{2}\right) \\ 256 +\Leftrightarrow n &> \frac{\log\!\left(\frac{1}{8100}\right)}{\log\!\left(\frac{1}{2}\right) }=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12,98 257 +\end{align*} 258 +{{/formula}} 259 +<br> 260 +Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden. 261 +<p></p> 262 +//Beachte: Da {{formula}}\log\left(\frac{1}{2}\right)<0{{/formula}} ist, muss das Ungleichzeichen im letzten Schritt umgedreht werden. // 201 201 {{/detail}} 202 202 203 203