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Änderungen von Dokument Lösung Analysis

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/17 16:25
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bearbeitet von akukin
am 2026/01/12 15:58
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -10,6 +10,12 @@
10 10  
11 11  
12 12  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
13 +//Aufgabenstellung//
14 +<br><p>
15 +Nenne drei Argumente, warum es sich beim dargestellten Graphen um {{formula}}K_{g}{{/formula}} handeln kann.
16 +</p>
17 +//Lösung//
18 +<br>
13 13  Mögliche Argumente:
14 14  <br>
15 15  * Der Graph hat zwei doppelte Nullstellen.
... ... @@ -31,6 +31,14 @@
31 31  
32 32  
33 33  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
40 +//Aufgabenstellung//
41 +<br><p>
42 +Der Graph {{formula}} K_{f} {{/formula}} der Funktion {{formula}} f {{/formula}} mit {{formula}} f(x)=\frac{1}{8}x^{4}-x^{2}+2 {{/formula}} geht aus {{formula}} K_{g} {{/formula}} durch Streckung in {{formula}} y {{/formula}}-Richtung mit dem Faktor {{formula}} a {{/formula}} hervor.
43 +<br>
44 +Gib den Wert von {{formula}} a {{/formula}} an.
45 +</p>
46 +//Lösung//
47 +<br>
34 34  Ausmultiplizieren liefert: {{formula}}g(x)=(x+2)^2\cdot (x-2)^2=x^4+ \dots{{/formula}}.
35 35  Somit ist der Faktor {{formula}}a=\frac{1}{8}{{/formula}}.
36 36  {{/detail}}
... ... @@ -52,6 +52,12 @@
52 52  
53 53  
54 54  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
69 +//Aufgabenstellung//
70 +<br><p>
71 +Bestimme eine Gleichung der Parabel (zweiten Grades), die durch alle Extrempunkte von {{formula}} K_{f} {{/formula}} verläuft.
72 +</p>
73 +//Lösung//
74 +<br>
55 55  Die beiden doppelten Nullstellen bei {{formula}}\pm 2{{/formula}} liefern die beiden Tiefpunkte von {{formula}}K_f{{/formula}}. Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: {{formula}} H(0 \mid 2) {{/formula}}.
56 56  <br>
57 57  Damit die Parabel durch die Punkte {{formula}}(-2|0), (2|0){{/formula}} und {{formula}}(0|2){{/formula}} verläuft, muss der Scheitel bei {{formula}}(0|2){{/formula}} liegen, das heißt die (nach unten geöffnete) Parabel ist um 2 in y-Richtung verschoben.
... ... @@ -75,6 +75,14 @@
75 75  
76 76  
77 77  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
98 +//Aufgabenstellung//
99 +<br><p>
100 +Gegeben ist die Funktion {{formula}} h {{/formula}} mit {{formula}} h(x)=4\cdot \cos(x)+4 {{/formula}}. Ihr Graph ist {{formula}} K_{h} {{/formula}}.
101 +<br>
102 +Zeichne {{formula}} K_{h} {{/formula}} im Bereich {{formula}} -\pi\le x\le\pi {{/formula}}.
103 +</p>
104 +//Lösung//
105 +<br>
78 78  Ein Graph kann mittels Wertetabelle gezeichnet werden, die mit dem Taschenrechner erzeugt wird.
79 79  [[image:1.2a.png||width="300"]]
80 80  {{/detail}}
... ... @@ -105,6 +105,12 @@
105 105  
106 106  
107 107  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
136 +//Aufgabenstellung//
137 +<br><p>
138 +Zeige, dass die Gerade {{formula}} t {{/formula}} mit der Gleichung {{formula}} y=-4x+2\pi+4 {{/formula}} eine Tangente an den Graphen {{formula}} K_{h} {{/formula}} im Punkt {{formula}} P(\frac{\pi}{2}|4) {{/formula}} ist.
139 +</p>
140 +//Lösung//
141 +<br>
108 108  Die Tangente muss durch den Punkt {{formula}}P\left(\frac{\pi}{2}|4\right){{/formula}} gehen und an der Stelle {{formula}}x=\frac{\pi}{2}{{/formula}} die selbe Steigung wie der Graph {{formula}}K_h{{/formula}}.
109 109  <br>
110 110  Das heißt, es muss geprüft werden, ob {{formula}}
... ... @@ -159,6 +159,12 @@
159 159  
160 160  
161 161  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
196 +//Aufgabenstellung//
197 +<br><p>
198 +Die Tangente im Kurvenpunkt {{formula}} P(u|h(u)) {{/formula}}, {{formula}} 0\le u\le\pi {{/formula}} schneidet die {{formula}} y {{/formula}}-Achse im Punkt {{formula}} S {{/formula}}. Bestimme denjenigen Wert, den die y-Koordinate von {{formula}} S {{/formula}} maximal annehmen kann.
199 +</p>
200 +//Lösung//
201 +<br>
162 162  Wir bestimmen die Tangente im Kurvenpunkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} mit dem Ansatz {{formula}}y=mx+b{{/formula}}.
163 163  <br>
164 164  Dazu bestimmen wir die Steigung {{formula}}m{{/formula}} im Punkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}}:
... ... @@ -173,18 +173,12 @@
173 173  y = -4\sin(u)\cdot x + b
174 174  {{/formula}}
175 175  <br>
176 -Nun setzen wir den Punkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} in die Tangentengleichung ein:
216 +Punktprobe mit {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} ergibt:
177 177  <br>
178 178  {{formula}}
179 -h(u) = -4\sin(u)\cdot u + b
219 +h(u) = -4\sin(u)\cdot u + b = 4\cdot \cos(u)+4
180 180  {{/formula}}
181 181  <br>
182 -Gleichsetzen mit {{formula}}h(u)=4\cdot \cos(u)+4{{/formula}} ergibt
183 -<br>
184 -{{formula}}
185 -4\cdot \cos(u)+4= -4\sin(u)\cdot u + b
186 -{{/formula}}
187 -<br>
188 188  Nun stellen wir die Gleichung nach {{formula}}b{{/formula}} um und erhalten in Abhängigkeit von {{formula}}u{{/formula}}:
189 189  <br>
190 190  {{formula}}
... ... @@ -225,6 +225,33 @@
225 225  {{/detail}}
226 226  
227 227  
262 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
263 +//Aufgabenstellung//
264 +<br><p>
265 +Ein Notizzettel hat die Maße {{formula}} 9 \times 9\text{ cm} {{/formula}}. Von diesem Notizzettel wird nun immer wieder ein Stück abgeschnitten, sodass sich der Flächeninhalt {{formula}} A {{/formula}} des verbleibenden Stücks mit jedem Schnitt halbiert.
266 +<p></p>
267 + Zeige, dass sich der nach {{formula}} n {{/formula}} Schnitten verbleibende Flächeninhalt des Notizzettels in {{formula}} \text{cm}^{2} {{/formula}} durch die Funktion {{formula}} A {{/formula}} mit {{formula}} A(n)=81\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}; \ n\in\mathbb{N} {{/formula}} beschreiben lässt.
268 +</p>
269 +//Lösung//
270 +<br>
271 +Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}}
272 +<br>
273 +Nach dem ersten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(1) = A(0) \cdot \frac{1}{2} = 81 \cdot \frac{1}{2}{{/formula}}
274 +<br>
275 +Nach dem zweiten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(2) = A(1)\cdot \frac{1}{2}=\left(81 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}=81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2=A(0)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2{{/formula}}
276 +<br>
277 +Nach dem dritten mal Halbieren gilt: {{formula}}A(3) = A(2)\cdot \frac{1}{2}=\left(81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) \cdot \frac{1}{2}=81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 =A(0)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3{{/formula}}
278 +<br>
279 +...
280 +<br>
281 +Wir erkennen, dass der Ausgangswert {{formula}}A(0){{/formula}} somit für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit
282 +{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert wird.
283 +<p></p>
284 +Daher {{formula}}
285 +A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
286 +{{/formula}}.
287 +{{/detail}}
288 +
228 228  === Teilaufgabe b) ===
229 229  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
230 230  {{formula}}
... ... @@ -243,6 +243,12 @@
243 243  
244 244  
245 245  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
307 +//Aufgabenstellung//
308 +<br><p>
309 +Berechne, wie oft man ein Stück des Notizzettels abschneiden muss, bis das verbleibende Stück erstmals einen Flächeninhalt von weniger als einem hundertstel Quadratzentimeter hat.
310 +</p>
311 +//Lösung//
312 +<br>
246 246  Es soll gelten: {{formula}}81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n <\frac{1}{100}{{/formula}}
247 247  <br>
248 248  Umstellen nach {{formula}}n{{/formula}} liefert: