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Änderungen von Dokument Lösung Analysis

Zuletzt geändert von akukin am 2026/01/17 16:25
Von Version 8.1
bearbeitet von akukin
am 2026/01/12 15:58
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bearbeitet von akukin
am 2026/01/11 15:23
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -50,7 +50,6 @@
50 50  {{/formula}}
51 51  {{/detail}}
52 52  
53 -
54 54  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
55 55  Die beiden doppelten Nullstellen bei {{formula}}\pm 2{{/formula}} liefern die beiden Tiefpunkte von {{formula}}K_f{{/formula}}. Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: {{formula}} H(0 \mid 2) {{/formula}}.
56 56  <br>
... ... @@ -147,11 +147,11 @@
147 147  {{/formula}}
148 148  <br>
149 149  {{formula}}
150 -b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \ u_2 = \frac{\pi}{2}
149 +b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0,; \ u_2 = \frac{\pi}{2}
151 151  {{/formula}}
152 152  <br><p>
153 153  {{formula}}
154 -b(0) = 8;\ \ b(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max}
153 +b(0) = 8;\quad b(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max}
155 155  {{/formula}}
156 156  </p>
157 157  //Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.//
... ... @@ -159,56 +159,7 @@
159 159  
160 160  
161 161  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
162 -Wir bestimmen die Tangente im Kurvenpunkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} mit dem Ansatz {{formula}}y=mx+b{{/formula}}.
163 -<br>
164 -Dazu bestimmen wir die Steigung {{formula}}m{{/formula}} im Punkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}}:
165 -<br>
166 - {{formula}}
167 -h'(u) = -4 \cdot \sin(u)
168 -{{/formula}}
169 -<br>
170 -Damit lautet Tangente in {{formula}}P{{/formula}}:
171 -<br>
172 -{{formula}}
173 -y = -4\sin(u)\cdot x + b
174 -{{/formula}}
175 -<br>
176 -Nun setzen wir den Punkt {{formula}}P(u \mid h(u)){{/formula}} in die Tangentengleichung ein:
177 -<br>
178 -{{formula}}
179 -h(u) = -4\sin(u)\cdot u + b
180 -{{/formula}}
181 -<br>
182 -Gleichsetzen mit {{formula}}h(u)=4\cdot \cos(u)+4{{/formula}} ergibt
183 -<br>
184 -{{formula}}
185 -4\cdot \cos(u)+4= -4\sin(u)\cdot u + b
186 -{{/formula}}
187 -<br>
188 -Nun stellen wir die Gleichung nach {{formula}}b{{/formula}} um und erhalten in Abhängigkeit von {{formula}}u{{/formula}}:
189 -<br>
190 -{{formula}}
191 -b(u) = 4u\cdot \sin(u) + 4\cos(u) + 4
192 -{{/formula}}
193 -<p></p>
194 -Um nun zu bestimmen, welchen Wert {{formula}}b(u){{/formula}} maximal annehmen kann, bestimmen wir mögliche Extremstellen der Funktion:
195 -<br>
196 -{{formula}}
197 -b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \ u_2 = \frac{\pi}{2}
198 -{{/formula}}
199 -<br>
200 -Einsetzen der möglichen Extremstellen liefert:
201 -<br>
202 -{{formula}}
203 -b(0) = 8;\ \ b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3
204 -{{/formula}}
205 -<br>
206 -Nun prüfen wir noch die obere Grenze {{formula}}\pi{{/formula}} für {{formula}}u{{/formula}}:
207 -{{formula}}b(\pi) =4\cos(\pi)+4+4\sin(\pi) =-4+4+0=0{{/formula}}
208 -<p></p>
209 -Somit ist {{formula}}b_{\max}=2\pi + 4 \approx 10{,}3{{/formula}}
210 -<p></p>
211 -//Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.//
161 +
212 212  {{/detail}}
213 213  
214 214  == 1.3 ==
... ... @@ -217,7 +217,7 @@
217 217  Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm^^2^^, d.h. {{formula}}A(0) = 81{{/formula}}
218 218  <br><p>
219 219  Mit jedem Schnitt wird der Flächeninhalt halbiert, d.h. der Ausgangswert wird für {{formula}}1, 2, 3 \dots n{{/formula}} Schnitte mit
220 -{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}} multipliziert.
170 +{{formula}}\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n{{/formula}}
221 221  </p>
222 222  Daher {{formula}}
223 223  A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n
... ... @@ -225,6 +225,10 @@
225 225  {{/detail}}
226 226  
227 227  
178 +{{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
179 +
180 +{{/detail}}
181 +
228 228  === Teilaufgabe b) ===
229 229  {{detail summary="Erwartungshorizont"}}
230 230  {{formula}}
... ... @@ -243,23 +243,7 @@
243 243  
244 244  
245 245  {{detail summary="Erläuterung der Lösung"}}
246 -Es soll gelten: {{formula}}81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n <\frac{1}{100}{{/formula}}
247 -<br>
248 -Umstellen nach {{formula}}n{{/formula}} liefert:
249 -<br>
250 -{{formula}}
251 -\begin{align*}
252 -81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n &<\frac{1}{100} &&\mid :81 \\
253 -\Leftrightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^n &< \frac{1}{8100} &&\mid \log \\
254 -\Leftrightarrow \log\!\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) \\
255 -\Leftrightarrow n\cdot\log\!\left(\frac{1}{2}\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) &&\mid : \log\!\left(\frac{1}{2}\right) \\
256 -\Leftrightarrow n &> \frac{\log\!\left(\frac{1}{8100}\right)}{\log\!\left(\frac{1}{2}\right) }=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12,98
257 -\end{align*}
258 -{{/formula}}
259 -<br>
260 -Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden.
261 -<p></p>
262 -//Beachte: Da {{formula}}\log\left(\frac{1}{2}\right)<0{{/formula}} ist, muss das Ungleichzeichen im letzten Schritt umgedreht werden. //
200 +
263 263  {{/detail}}
264 264  
265 265