1.1
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
Der Graph hat zwei doppelte Nullstellen.Der Graph hat zur y-Achse symmetrischen Nullstellen.
Der Graph verläuft vom 2. in den 1. Quadranten.
Erläuterung der Lösung
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
\(a=\frac{1}{8}\)Erläuterung der Lösung
Teilaufgabe c)
Erwartungshorizont
Die beiden doppelten Nullstellen bei \(\pm 2\) liefern die beiden Tiefpunkte von \(K_f\). Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: \( H(0 \mid 2) \).Daraus ergibt sich der Ansatz: \(y = b \cdot x^2 + 2 \)
Einsetzen der Koordinaten eines Tiefpunkts: \(0 = b \cdot 2^2 + 2 \ \Rightarrow \ b = -\frac{1}{2}\)
Damit: \(y = -\frac{1}{2}x^2 + 2\)Erläuterung der Lösung
1.2
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
Erläuterung der Lösung
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
\(t(x) = -4x + 2\pi + 4\)\(t'(x) = -4\)
\(h'(x) = -4 \cdot \sin(x)\)
\(h\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 = t\left(\frac{\pi}{2}\right); \quad h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4 = t'\left(\frac{\pi}{2}\right)\)
Damit ist \(t\) Tangente an \(K_h\) im Punkt \(P\left(\frac{\pi}{2} \mid 4\right)\)
Erläuterung der Lösung
Teilaufgabe c)
Erwartungshorizont
Steigung der Tangente im Kurvenpunkt \(P(u \mid h(u))\): \(h'(u) = -4 \cdot \sin(u)\)Damit Tangente in \(P\): \(y = -4\sin(u)\cdot x + b\)
Punktprobe mit \(P(u \mid h(u))\) ergibt den y-Achsenabschnitt in Abhängigkeit von \(u\): \(b(u) = 4u\cdot \sin(u) + 4\cos(u) + 4\)
\(b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0,; \ u_2 = \frac{\pi}{2}\)
\(b(0) = 8;\quad b(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max}\)
Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.