1.1
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
Der Graph hat zwei doppelte Nullstellen.Der Graph hat zur y-Achse symmetrischen Nullstellen.
Der Graph verläuft vom 2. in den 1. Quadranten.
Erläuterung der Lösung
Mögliche Argumente:- Der Graph hat zwei doppelte Nullstellen.
(Die Funktion \(g(x)\) besitzt die doppelten Nullstellen \(x=2\) und \(x=-2\)) - Der Graph hat zur y-Achse symmetrischen Nullstellen.
(Die Nullstellen \(x=2\) und \(x=-2\) sind symmetrisch zur y-Achse) - Der Graph verläuft vom 2. in den 1. Quadranten.
(Die Funktion \(g(x)=(x+2)^2\cdot (x-2)^2=1\cdot x^4+ \dots\) besitzt einen geraden Grad (Grad 4) und einen Leitkoeffizienten \(>0\). Somit gilt \(g(x)\rightarrow \infty\) für \(x\rightarrow \pm \infty\).)
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
\(a=\frac{1}{8}\)Erläuterung der Lösung
Ausmultiplizieren liefert: \(g(x)=(x+2)^2\cdot (x-2)^2=x^4+ \dots\). Somit ist der Faktor \(a=\frac{1}{8}\).Teilaufgabe c)
Erwartungshorizont
Die beiden doppelten Nullstellen bei \(\pm 2\) liefern die beiden Tiefpunkte von \(K_f\). Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: \( H(0 \mid 2) \).Daraus ergibt sich der Ansatz: \(y = b \cdot x^2 + 2 \)
Einsetzen der Koordinaten eines Tiefpunkts: \(0 = b \cdot 2^2 + 2 \ \Rightarrow \ b = -\frac{1}{2}\)
Damit: \(y = -\frac{1}{2}x^2 + 2\)Erläuterung der Lösung
Die beiden doppelten Nullstellen bei \(\pm 2\) liefern die beiden Tiefpunkte von \(K_f\). Der Hochpunkt liegt aus Symmetriegründen auf der y-Achse: \( H(0 \mid 2) \).Damit die Parabel durch die Punkte \((-2|0), (2|0)\) und \((0|2)\) verläuft, muss der Scheitel bei \((0|2)\) liegen, das heißt die (nach unten geöffnete) Parabel ist um 2 in y-Richtung verschoben.
Daraus ergibt sich der Ansatz: \(y = b \cdot x^2 + 2 \)
Einsetzen der Koordinaten eines Tiefpunkts: \(0 = b \cdot 2^2 + 2 \ \Rightarrow \ b = -\frac{1}{2}\)
Damit: \(y = -\frac{1}{2}x^2 + 2\)1.2
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
Erläuterung der Lösung
Ein Graph kann mittels Wertetabelle gezeichnet werden, die mit dem Taschenrechner erzeugt wird.
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
\(t(x) = -4x + 2\pi + 4\)\(t'(x) = -4\)
\(h'(x) = -4 \cdot \sin(x)\)
\(h\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 = t\left(\frac{\pi}{2}\right); \quad h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4 = t'\left(\frac{\pi}{2}\right)\)
Damit ist \(t\) Tangente an \(K_h\) im Punkt \(P\left(\frac{\pi}{2} \mid 4\right)\)
Erläuterung der Lösung
Die Tangente muss durch den Punkt \(P\left(\frac{\pi}{2}|4\right)\) gehen und an der Stelle \(x=\frac{\pi}{2}\) die selbe Steigung wie der Graph \(K_h\).Das heißt, es muss geprüft werden, ob \(h\left(\frac{\pi}{2}\right) = t\left(\frac{\pi}{2}\right)\) und \(h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = t'\left(\frac{\pi}{2}\right)\) gilt: \(t(x) = -4x + 2\pi + 4\)
\(t'(x) = -4\)
\(h'(x) = -4 \cdot \sin(x)\)
\(h\left(\frac{\pi}{2}\right) = 4 = t\left(\frac{\pi}{2}\right); \quad h'\left(\frac{\pi}{2}\right) = -4 = t'\left(\frac{\pi}{2}\right)\)
Damit ist \(t\) Tangente an \(K_h\) im Punkt \(P\left(\frac{\pi}{2} \mid 4\right)\)
Teilaufgabe c)
Erwartungshorizont
Steigung der Tangente im Kurvenpunkt \(P(u \mid h(u))\): \(h'(u) = -4 \cdot \sin(u)\)Damit Tangente in \(P\): \(y = -4\sin(u)\cdot x + b\)
Punktprobe mit \(P(u \mid h(u))\) ergibt den y-Achsenabschnitt in Abhängigkeit von \(u\): \(b(u) = 4u\cdot \sin(u) + 4\cos(u) + 4\)
\(b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \ u_2 = \frac{\pi}{2}\)
\(b(0) = 8;\ \ b(\pi) = 0;\quad b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3= b_{\max}\)
Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.Erläuterung der Lösung
Wir bestimmen die Tangente im Kurvenpunkt \(P(u \mid h(u))\) mit dem Ansatz \(y=mx+b\).Dazu bestimmen wir die Steigung \(m\) im Punkt \(P(u \mid h(u))\):
\(h'(u) = -4 \cdot \sin(u)\)
Damit lautet Tangente in \(P\):
\(y = -4\sin(u)\cdot x + b\)
Nun setzen wir den Punkt \(P(u \mid h(u))\) in die Tangentengleichung ein:
\(h(u) = -4\sin(u)\cdot u + b\)
Gleichsetzen mit \(h(u)=4\cdot \cos(u)+4\) ergibt
\(4\cdot \cos(u)+4= -4\sin(u)\cdot u + b\)
Nun stellen wir die Gleichung nach \(b\) um und erhalten in Abhängigkeit von \(u\):
\(b(u) = 4u\cdot \sin(u) + 4\cos(u) + 4\) Um nun zu bestimmen, welchen Wert \(b(u)\) maximal annehmen kann, bestimmen wir mögliche Extremstellen der Funktion:
\(b'(u) = 4u \cdot \cos(u)= 0 \ \Leftrightarrow \ u_1 = 0; \ \ u_2 = \frac{\pi}{2}\)
Einsetzen der möglichen Extremstellen liefert:
\(b(0) = 8;\ \ b\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2\pi + 4 \approx 10{,}3\)
Nun prüfen wir noch die obere Grenze \(\pi\) für \(u\): \(b(\pi) =4\cos(\pi)+4+4\sin(\pi) =-4+4+0=0\) Somit ist \(b_{\max}=2\pi + 4 \approx 10{,}3\) Hinweis: Auch alternative Argumentationen sind möglich, sofern sie vollständig beschrieben und begründet sind.
1.3
Teilaufgabe a)
Erwartungshorizont
Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm2, d.h. \(A(0) = 81\)Mit jedem Schnitt wird der Flächeninhalt halbiert, d.h. der Ausgangswert wird für \(1, 2, 3 \dots n\) Schnitte mit \(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n\) multipliziert.
Daher \(A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n\).Erläuterung der Lösung
Flächeninhalt zu Beginn: 81 cm2, d.h. \(A(0) = 81\)Nach dem ersten mal Halbieren gilt: \(A(1) = A(0) \cdot \frac{1}{2} = 81 \cdot \frac{1}{2}\)
Nach dem zweiten mal Halbieren gilt: \(A(2) = A(1)\cdot \frac{1}{2}=\left(81 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot \frac{1}{2}=81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2=A(0)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2\)
Nach dem dritten mal Halbieren gilt: \(A(3) = A(2)\cdot \frac{1}{2}=\left(81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^2\right) \cdot \frac{1}{2}=81\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3 =A(0)\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^3\)
...
Wir erkennen, dass der Ausgangswert \(A(0)\) somit für \(1, 2, 3 \dots n\) Schnitte mit \(\frac{1}{2}, \left(\frac{1}{2}\right)^2, \left(\frac{1}{2}\right)^3 \dots \left(\frac{1}{2}\right)^n\) multipliziert wird. Daher \(A(n) = 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n\).
Teilaufgabe b)
Erwartungshorizont
\(81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0{,}01 \ \Leftrightarrow \ \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{8100}\)liefert
\(n > \log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12{,}98\)
Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden.
Erläuterung der Lösung
Es soll gelten: \(81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n <\frac{1}{100}\)Umstellen nach \(n\) liefert:
\(\begin{align*} 81 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^n &<\frac{1}{100} &&\mid :81 \\ \Leftrightarrow \left(\frac{1}{2}\right)^n &< \frac{1}{8100} &&\mid \log \\ \Leftrightarrow \log\!\left(\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) \\ \Leftrightarrow n\cdot\log\!\left(\frac{1}{2}\right)&< \log\!\left(\frac{1}{8100}\right) &&\mid : \log\!\left(\frac{1}{2}\right) \\ \Leftrightarrow n &> \frac{\log\!\left(\frac{1}{8100}\right)}{\log\!\left(\frac{1}{2}\right) }=\log_{\frac{1}{2}}\!\left(\frac{1}{8100}\right) \approx 12,98 \end{align*}\)
Es muss 13-mal ein Stück des Notizzettels abgeschnitten werden. Beachte: Da \(\log\left(\frac{1}{2}\right)<0\) ist, muss das Ungleichzeichen im letzten Schritt umgedreht werden.